Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Pregunta 4 (2 puntos)

Opción B. Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & m & 3 \\ 1 & 1 & 2-m \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & m \end{pmatrix}$:

a) Estudie el rango de $A$ dependiendo del valor de $m$. [1 punto]

b) Para $m=-1$, resuelva $AX=B^{t}$. [1 punto]

$\textbf{a)}\ \textbf{Estudie el rango de }\boldsymbol{A}\textbf{ dependiendo del valor de }\boldsymbol{m}\textbf{.}\ (1\ \text{punto})$

El rango de una matriz cuadrada de orden tres es tres cuando su determinante no se anula, así que se empieza por calcularlo.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & m & 3 \\ 1 & 1 & 2-m \end{vmatrix}=m(2-m)+3+2-2m-3-(2-m)$

$|A|=2m-m^{2}+3+2-2m-3-2+m=m-m^{2}=m(1-m)$

$|A|=0 \Rightarrow m=0 \text{ o } m=1$

Si $m\neq 0$ y $m\neq 1$, el determinante no se anula y el rango es tres. Para los dos valores que lo anulan se busca un menor de orden dos no nulo.

$m=0:\quad \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-1\neq 0$

$m=1:\quad \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=1\neq 0$

En los dos casos hay un menor de orden dos distinto de cero y el determinante es nulo, luego el rango es dos.

El rango de $A$ es $3$ si $m\neq 0$ y $m\neq 1$, y es $2$ si $m=0$ o $m=1$.

$\textbf{b)}\ \textbf{Para }\boldsymbol{m=-1}\textbf{, resuelva }\boldsymbol{AX=B^{t}}\textbf{.}\ (1\ \text{punto})$

Con $m=-1$ el determinante vale $|A|=-1\cdot(1+1)=-2\neq 0$, de modo que la matriz es regular y el sistema es compatible determinado. La incógnita es la matriz columna $X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

El producto de matrices devuelve el sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{cases} x+y+2z=0 \\ x-y+3z=1 \\ x+y+3z=-1 \end{cases}$

Restando la primera ecuación de la tercera se obtiene directamente $z$.

$(x+y+3z)-(x+y+2z)=-1-0 \Rightarrow z=-1$

Se sustituye en la primera y en la segunda ecuación.

$x+y-2=0 \Rightarrow x+y=2;\qquad x-y-3=1 \Rightarrow x-y=4$

Sumando las dos igualdades, $2x=6$, y de ahí se obtiene la otra incógnita.

$x=3;\qquad y=2-3=-1$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$, que se comprueba sustituyendo en $AX=B^{t}$.