Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Pregunta 4 (2 puntos)

Opción A. Para celebrar el cumpleaños de Bruno, Carmen quiere invitar a merendar a sus amigos en la Pizzería La Romana. Esta pizzería ofrece tres tipos de pizzas: de base fina, de base gruesa y de base rellena de queso. El precio de la pizza de base rellena de queso es 2 euros más que el de las otras dos juntas. Si encarga 6 pizzas de base gruesa se gasta lo mismo que encargando 4 pizzas de base rellena de queso. Y si pide 3 pizzas de base fina, 3 de base gruesa y 7 de base rellena de queso se gastará 204 euros.

a) Plantee el sistema de ecuaciones que le permita averiguar a Carmen cuánto cuesta cada tipo de pizza. [1 punto]

b) Resuelva razonadamente el sistema planteado. [1 punto]

Llamamos $x$ al precio de la pizza de base fina, $y$ al de la de base gruesa y $z$ al de la de base rellena de queso, los tres en euros.

$\textbf{a)}\ \textbf{Plantee el sistema de ecuaciones que le permita averiguar a Carmen cuánto cuesta cada tipo de pizza.}\ (1\ \text{punto})$

La primera condición dice que la rellena de queso cuesta dos euros más que las otras dos juntas.

$z=x+y+2$

La segunda iguala el gasto de seis pizzas de base gruesa y el de cuatro de base rellena.

$6y=4z$

La tercera recoge el pedido de tres, tres y siete pizzas por $204$ euros.

$3x+3y+7z=204$

El sistema, ordenado, queda así:

$\begin{cases} x+y-z=-2 \\ 6y-4z=0 \\ 3x+3y+7z=204 \end{cases}$

$\textbf{b)}\ \textbf{Resuelva razonadamente el sistema planteado.}\ (1\ \text{punto})$

Se resuelve por sustitución, que aquí es lo más corto. De la segunda ecuación se despeja $z$ en función de $y$.

$6y=4z \Rightarrow z=\dfrac{3y}{2}$

Se lleva a la primera ecuación para despejar también $x$.

$x=z-y-2=\dfrac{3y}{2}-y-2=\dfrac{y}{2}-2$

Ahora se sustituyen las dos en la tercera ecuación.

$3\left(\dfrac{y}{2}-2\right)+3y+7\cdot\dfrac{3y}{2}=204$

$\dfrac{3y}{2}-6+3y+\dfrac{21y}{2}=204 \Rightarrow 15y=210 \Rightarrow y=14$

$z=\dfrac{3\cdot 14}{2}=21;\qquad x=\dfrac{14}{2}-2=5$

Se comprueba en la tercera ecuación: $3\cdot 5+3\cdot 14+7\cdot 21=15+42+147=204$.

La pizza de base fina cuesta $5$ euros, la de base gruesa $14$ euros y la de base rellena de queso $21$ euros.