Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Pregunta 3 (2 puntos)

Opción B. Considere la función objetivo $f(x,y)=3x-2y$ y la región del plano definida por las siguientes inecuaciones:

$\begin{cases} y \leq 7 \\ 3x-y \leq 3 \\ x+y \geq 5 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

a) Represente la región factible. [0,75 puntos]

b) Encuentre los vértices de esta región. [0,5 puntos]

c) Obtenga los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el máximo y el mínimo y calcule sus correspondientes valores. [0,75 puntos]

$\textbf{a)}\ \textbf{Represente la región factible.}\ (0{,}75\ \text{puntos})$

Las tres primeras inecuaciones tienen por frontera rectas que se dibujan por sus cortes con los ejes: $y=7$ es horizontal, $3x-y=3$ pasa por $(1,0)$ y $(0,-3)$, y $x+y=5$ por $(5,0)$ y $(0,5)$. Las dos últimas restringen el dibujo al primer cuadrante.

El punto $(1,6)$ cumple las cinco desigualdades, luego la región factible es la intersección de los semiplanos que lo contienen; es un recinto acotado con cuatro vértices.



$\textbf{b)}\ \textbf{Encuentre los vértices de esta región.}\ (0{,}5\ \text{puntos})$

Cada vértice es el corte de dos de las rectas frontera. Sobre el eje $OY$ el recinto va de $x+y=5$ a $y=7$.

$A(0,5);\qquad B(0,7)$

El tercero es el corte de $y=7$ con $3x-y=3$.

$3x-7=3 \Rightarrow x=\dfrac{10}{3} \Rightarrow C\left(\dfrac{10}{3},7\right)$

El cuarto es el corte de $3x-y=3$ con $x+y=5$; sumando las dos ecuaciones desaparece la $y$.

$4x=8 \Rightarrow x=2 \Rightarrow y=5-2=3 \Rightarrow D(2,3)$

Los vértices de la región factible son $A(0,5)$, $B(0,7)$, $C\left(\dfrac{10}{3},7\right)$ y $D(2,3)$.

$\textbf{c)}\ \textbf{Obtenga los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el máximo y el mínimo y calcule sus correspondientes valores.}\ (0{,}75\ \text{puntos})$

La región es un recinto convexo y acotado, así que por el teorema fundamental de la programación lineal los extremos de la función objetivo se alcanzan en los vértices. Se evalúa $f(x,y)=3x-2y$ en cada uno de ellos.

$f(0,5)=-10;\qquad f(0,7)=-14$

$f\left(\dfrac{10}{3},7\right)=10-14=-4;\qquad f(2,3)=6-6=0$

El máximo vale $0$ y se alcanza en el vértice $D(2,3)$; el mínimo vale $-14$ y se alcanza en el vértice $B(0,7)$.