Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Pregunta 3 (2 puntos)

Opción A. Un fabricante importante de patinetes eléctricos en España produce dos modelos: el SmartGyro Rockway EVO y el SmartGyro Speedway. El fabricante obtiene 150 euros de beneficio por cada Rockway EVO y 120 euros por cada Speedway. El modelo Rockway EVO requiere 3 horas de ensamblaje y media hora de pintura, mientras que el modelo Speedway necesita 2 horas de ensamblaje y una hora de pintura. El número máximo de horas de ensamblaje disponibles es de 24 al día y el de pintura, de 8. Además, deben fabricarse al menos 3 unidades del modelo Speedway al día. Se pide:

a) Si el fabricante quiere maximizar el beneficio diario, formule el problema, identificando la función objetivo y las restricciones. [0,75 puntos]

b) Represente la región factible. [0,5 puntos]

c) Encuentre los vértices de esta región. [0,25 puntos]

d) ¿Cuántos patinetes de cada modelo debe producir el fabricante para maximizar el beneficio diario? Calcule el beneficio máximo diario posible. [0,5 puntos]

Llamamos $x$ al número de patinetes Rockway EVO e $y$ al número de patinetes Speedway fabricados al día.

$\textbf{a)}\ \textbf{Si el fabricante quiere maximizar el beneficio diario, formule el problema, identificando la función objetivo y las restricciones.}\ (0{,}75\ \text{puntos})$

Cada Rockway EVO deja $150$ euros y cada Speedway $120$ euros, de modo que la función objetivo que hay que maximizar es el beneficio diario.

$f(x,y)=150x+120y$

El ensamblaje consume $3$ horas por Rockway EVO y $2$ por Speedway, y solo hay $24$ horas al día.

$3x+2y\le 24$

La pintura consume media hora por Rockway EVO y una hora por Speedway, con $8$ horas disponibles.

$\dfrac{1}{2}x+y\le 8$

Además deben fabricarse al menos $3$ Speedway y el número de patinetes no puede ser negativo. El problema queda planteado así:

$\text{Max } f(x,y)=150x+120y \quad\text{sujeto a}\quad \begin{cases} 3x+2y\le 24 \\ \dfrac{1}{2}x+y\le 8 \\ x\ge 0;\ y\ge 3 \end{cases}$

$\textbf{b)}\ \textbf{Represente la región factible.}\ (0{,}5\ \text{puntos})$

Se dibujan las rectas frontera por sus cortes con los ejes: $3x+2y=24$ pasa por $(8,0)$ y $(0,12)$, y $\frac{1}{2}x+y=8$ por $(16,0)$ y $(0,8)$. Como el punto $(0,3)$ cumple las cuatro desigualdades, la región factible es la intersección de los semiplanos que lo contienen.



$\textbf{c)}\ \textbf{Encuentre los vértices de esta región.}\ (0{,}25\ \text{puntos})$

Sobre la recta $y=3$ manda la restricción más exigente: $3x+6\le 24$ da $x\le 6$, frente a $x\le 10$ de la pintura. Sobre el eje $OY$ la más exigente es $y\le 8$. El cuarto vértice es el corte de las dos rectas oblicuas.

$\begin{cases} 3x+2y=24 \\ \dfrac{1}{2}x+y=8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x+2y=24 \\ x+2y=16 \end{cases} \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4$

$4+2y=16 \Rightarrow y=6$

Los vértices de la región factible son $A(0,3)$, $B(6,3)$, $C(4,6)$ y $D(0,8)$.

$\textbf{d)}\ \textbf{¿Cuántos patinetes de cada modelo debe producir el fabricante para maximizar el beneficio diario? Calcule el beneficio máximo diario posible.}\ (0{,}5\ \text{puntos})$

Por el teorema fundamental de la programación lineal el óptimo se alcanza en un vértice, así que basta valorar la función objetivo en los cuatro.

$f(0,3)=360;\qquad f(6,3)=900+360=1260$

$f(4,6)=600+720=1320;\qquad f(0,8)=960$

El fabricante debe producir $4$ patinetes Rockway EVO y $6$ Speedway al día, con un beneficio máximo de $1320$ euros diarios.