Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Pregunta 2 (3 puntos)

Dada la función $f(x)=x^{3}\cdot(x-5)^{2}$, se pide:

a) Determine el dominio de $f(x)$. [0,25 puntos]

b) Calcule la función derivada $f'(x)$ y determine los puntos críticos. [0,75 puntos]

c) Estudie la monotonía de $f(x)$, indicando los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

d) Determine el valor o valores de $x$ donde la función tiene un extremo relativo. Calcule el valor de la función en dichos puntos. [0,5 puntos]

e) Calcule $\displaystyle\int f(x)\,dx$. [0,5 puntos]

$\textbf{a)}\ \textbf{Determine el dominio de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{.}\ (0{,}25\ \text{puntos})$

La función es un producto de dos polinomios y, por tanto, un polinomio: está definida para cualquier número real.

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}$

$\textbf{b)}\ \textbf{Calcule la función derivada }\boldsymbol{f'(x)}\textbf{ y determine los puntos críticos.}\ (0{,}75\ \text{puntos})$

Se deriva como un producto y después se saca factor común, que es lo que permite leer los puntos críticos de un vistazo.

$f'(x)=3x^{2}(x-5)^{2}+x^{3}\cdot 2(x-5)$

$f'(x)=x^{2}(x-5)\left[3(x-5)+2x\right]=x^{2}(x-5)(5x-15)$

$f'(x)=5x^{2}(x-3)(x-5)$

Los puntos críticos son las soluciones de $f'(x)=0$.

$5x^{2}(x-3)(x-5)=0 \Rightarrow x=0;\ x=3;\ x=5$

$\textbf{c)}\ \textbf{Estudie la monotonía de }\boldsymbol{f(x)}\textbf{, indicando los intervalos de crecimiento y decrecimiento.}\ (1\ \text{punto})$

Los tres puntos críticos parten la recta real en cuatro tramos. Se hace un estudio de signos de la derivada tomando un valor de prueba en cada uno.

$f'(-1)=5\cdot 1\cdot(-4)\cdot(-6)=120>0$

$f'(1)=5\cdot 1\cdot(-2)\cdot(-4)=40>0$

$f'(4)=5\cdot 16\cdot 1\cdot(-1)=-80<0$

$f'(6)=5\cdot 36\cdot 3\cdot 1=540>0$



El factor $x^{2}$ es siempre positivo, así que en $x=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo.

La función crece en $(-\infty,0)\cup(0,3)\cup(5,+\infty)$ y decrece en $(3,5)$.

$\textbf{d)}\ \textbf{Determine el valor o valores de }\boldsymbol{x}\textbf{ donde la función tiene un extremo relativo. Calcule el valor de la función en dichos puntos.}\ (0{,}5\ \text{puntos})$

Hay extremo relativo donde la derivada cambia de signo. Según el estudio anterior, eso ocurre en $x=3$, donde pasa de positiva a negativa, y en $x=5$, donde pasa de negativa a positiva. En $x=0$ no hay extremo.

$f(3)=3^{3}\cdot(3-5)^{2}=27\cdot 4=108$

$f(5)=5^{3}\cdot(5-5)^{2}=0$

La función presenta un máximo relativo en el punto $(3,108)$ y un mínimo relativo en el punto $(5,0)$.

$\textbf{e)}\ \textbf{Calcule }\boldsymbol{\int f(x)\,dx}\textbf{.}\ (0{,}5\ \text{puntos})$

Se desarrolla el producto para integrar término a término.

$f(x)=x^{3}(x-5)^{2}=x^{3}(x^{2}-10x+25)=x^{5}-10x^{4}+25x^{3}$

$\displaystyle\int f(x)\,dx=\int\left(x^{5}-10x^{4}+25x^{3}\right)dx$

$\displaystyle\int f(x)\,dx=\dfrac{x^{6}}{6}-2x^{5}+\dfrac{25x^{4}}{4}+C$

Derivando el resultado se recupera $f(x)$, lo que confirma el cálculo.