Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Pregunta 4 (2 puntos)

Opción 4.2. Considere la función $f(x)=\dfrac{1}{2}+\cos(x)$, donde la variable $x$ está expresada en radianes.

a) (0,5 ptos.) Calcule la integral indefinida $\displaystyle\int f(x)\,dx$.

b) (1,5 ptos.) Determine el área del recinto del plano limitado por la gráfica de la función $f(x)$ con el eje $X$ y las rectas $x=0$ y $x=\pi$.

$\textbf{a) Calcule la integral indefinida }\boldsymbol{\int f(x)\,dx}\textbf{.}\ (0{,}5\ \text{ptos.})$

La integral es inmediata, porque una primitiva de la constante es la recta y una primitiva del coseno es el seno.

$\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{2}+\cos x\right)dx=\dfrac{1}{2}x+\operatorname{sen} x+C$

$\textbf{b) Determine el área del recinto del plano limitado por la gráfica de la función }\boldsymbol{f(x)}\textbf{ con el eje }\boldsymbol{X}\textbf{ y las rectas }\boldsymbol{x=0}\textbf{ y }\boldsymbol{x=\pi}\textbf{.}\ (1{,}5\ \text{ptos.})$

Antes de integrar hay que ver si la función cambia de signo dentro del intervalo, porque en ese caso la integral definida no mide el área.

$\dfrac{1}{2}+\cos x=0 \Rightarrow \cos x=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}$

$f(0)=\dfrac{3}{2}>0;\qquad f(\pi)=-\dfrac{1}{2}<0$

La gráfica está por encima del eje en $\left(0,\frac{2\pi}{3}\right)$ y por debajo en $\left(\frac{2\pi}{3},\pi\right)$, de modo que el área es la suma de las dos partes, la segunda cambiada de signo.



$A=\displaystyle\int_{0}^{2\pi/3}f(x)\,dx-\int_{2\pi/3}^{\pi}f(x)\,dx$

$A=\left[\dfrac{x}{2}+\operatorname{sen} x\right]_{0}^{2\pi/3}-\left[\dfrac{x}{2}+\operatorname{sen} x\right]_{2\pi/3}^{\pi}$

Por la regla de Barrow se sustituyen los límites en la primitiva.

$\left[\dfrac{x}{2}+\operatorname{sen} x\right]_{0}^{2\pi/3}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\left[\dfrac{x}{2}+\operatorname{sen} x\right]_{2\pi/3}^{\pi}=\dfrac{\pi}{2}-\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$A=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\left(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{6}+\sqrt{3}$

El área del recinto es de $\dfrac{\pi}{6}+\sqrt{3}\approx 2{,}26$ unidades cuadradas.