Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Pregunta 3 (2 puntos)

Determine la ecuación del plano que contiene al punto $P(-2,2,-2)$ y a la recta $r$ dada como intersección de dos planos:

$r:\begin{cases} 2x+y-z=4 \\ x+y-2z=3 \end{cases}$

Un plano queda determinado por un punto suyo y dos direcciones independientes. Como debe contener a la recta $r$, sirven el vector director de $r$ y el vector que une un punto de $r$ con el punto $P$.

La recta viene dada como intersección de dos planos, así que su vector director es perpendicular a las dos normales y se obtiene con el producto vectorial de ambas.

$\vec n_1=(2,1,-1);\qquad \vec n_2=(1,1,-2)$

$\vec v_r=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}=-\vec i+3\vec j+\vec k=(-1,3,1)$

Se busca ahora un punto de la recta. Dando el valor $z=0$ queda el sistema $2x+y=4$, $x+y=3$, cuya solución es $x=1$, $y=2$.

$R(1,2,0)\in r$

$\overrightarrow{PR}=R-P=(1,2,0)-(-2,2,-2)=(3,0,2)$



Los vectores $\vec v_r$ y $\overrightarrow{PR}$ no son proporcionales, luego $P$ no pertenece a $r$ y el plano queda determinado. Su ecuación se obtiene imponiendo que los tres vectores sean coplanarios, es decir, anulando el determinante que forman.

$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z \\ -1 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix}=0$

$6(x-1)+5(y-2)-9z=0$

$\pi:\ 6x+5y-9z-16=0$

Se comprueba con el punto del enunciado: $6(-2)+5\cdot 2-9(-2)-16=-12+10+18-16=0$, de modo que $P$ está en el plano, y el vector normal $(6,5,-9)$ es perpendicular a $\vec v_r$, con lo que la recta también lo está.