Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2026

Pregunta 2 (2 puntos)

Sea $P(x,y)$ un punto del primer cuadrante que está en la gráfica de la función $g(x)=\sqrt{x+1}$.

a) (0,5 ptos.) Demuestre que la distancia de $P(x,y)$ al punto $A(2,0)$ viene dada por la función $f(x)=\sqrt{x^{2}-3x+5}$.

b) (1 pto.) Determine el valor de $x$ para que la distancia a $A$ sea mínima.

c) (0,5 ptos.) Calcule esa distancia mínima.

$\textbf{a) Demuestre que la distancia de }\boldsymbol{P(x,y)}\textbf{ al punto }\boldsymbol{A(2,0)}\textbf{ viene dada por la función }\boldsymbol{f(x)=\sqrt{x^{2}-3x+5}}\textbf{.}\ (0{,}5\ \text{ptos.})$

Como $P$ está en la gráfica de $g$, su ordenada no es libre: $P\left(x,\sqrt{x+1}\right)$. Se aplica la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano.

$d(P,A)=\sqrt{(x-2)^{2}+\left(\sqrt{x+1}-0\right)^{2}}$

$d(P,A)=\sqrt{x^{2}-4x+4+x+1}$

$d(P,A)=\sqrt{x^{2}-3x+5}=f(x)$



$\textbf{b) Determine el valor de }\boldsymbol{x}\textbf{ para que la distancia a }\boldsymbol{A}\textbf{ sea mínima.}\ (1\ \text{pto.})$

Se busca el mínimo de $f$ derivando e igualando a cero. El radicando $x^{2}-3x+5$ tiene discriminante negativo, luego es siempre positivo y la raíz está definida en todo el dominio del problema.

$f'(x)=\dfrac{2x-3}{2\sqrt{x^{2}-3x+5}}$

Una fracción se anula cuando lo hace su numerador.

$2x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de $f'$ es el de $2x-3$: negativo antes de $\frac{3}{2}$ y positivo después.

$f'(1)=\dfrac{-1}{2\sqrt{3}}<0;\qquad f'(2)=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}>0$

La función pasa de decrecer a crecer, de modo que en $x=\dfrac{3}{2}$ hay un mínimo. El punto buscado es $P\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)$, que está en el primer cuadrante como pide el enunciado.

$\textbf{c) Calcule esa distancia mínima.}\ (0{,}5\ \text{ptos.})$

Basta evaluar la función distancia en el valor obtenido.

$f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}+5}=\sqrt{\dfrac{11}{4}}$

$f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\approx 1{,}66$

La distancia mínima entre el punto $A$ y la curva es de $\dfrac{\sqrt{11}}{2}$ unidades.