Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Pregunta 1 (2 puntos)

Una empresa produce pequeñas cajas con piezas de fruta. Hay tres tipos de cajas, $A$, $B$ y $C$. En las cajas de tipo $A$ hay 1 manzana, 1 pera y 1 naranja. En las cajas de tipo $B$ hay 2 manzanas, 1 pera y 1 naranja. En las cajas de tipo $C$ hay 1 manzana, 2 peras y 1 naranja. Un día prepararon $x$ cajas de tipo $A$, $y$ cajas de tipo $B$ y $z$ cajas de tipo $C$, y en total se usaron 400 manzanas, 500 peras y $k$ naranjas.

a) (1 pto.) Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas cajas de cada tipo se prepararon.

b) (1 pto.) Discuta y resuelva, si se puede, el sistema, dando la solución en términos del parámetro $k$.

$\textbf{a) Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas cajas de cada tipo se prepararon.}\ (1\ \text{pto.})$

Se cuenta cada fruta por separado. En las $x$ cajas de tipo $A$ hay $x$ manzanas, $x$ peras y $x$ naranjas; en las $y$ cajas de tipo $B$, $2y$ manzanas, $y$ peras e $y$ naranjas; y en las $z$ cajas de tipo $C$, $z$ manzanas, $2z$ peras y $z$ naranjas.

Igualando el total de cada fruta a lo que se gastó ese día se obtiene el sistema:

$\begin{cases} x+2y+z=400 \\ x+y+2z=500 \\ x+y+z=k \end{cases}$

$\textbf{b) Discuta y resuelva, si se puede, el sistema, dando la solución en términos del parámetro }\boldsymbol{k}\textbf{.}\ (1\ \text{pto.})$

El parámetro solo aparece en el término independiente, así que la matriz de coeficientes no depende de $k$. Se calcula su determinante.

$|M|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1+4+1-1-2-2=1$

Como $|M|=1\neq 0$, el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada valen $3$, igual que el número de incógnitas: por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado sea cual sea el valor de $k$.

Al ser $|M|\neq 0$ se puede aplicar la regla de Cramer.

$x=\dfrac{\begin{vmatrix} 400 & 2 & 1 \\ 500 & 1 & 2 \\ k & 1 & 1 \end{vmatrix}}{1}=3k-900$

$y=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 400 & 1 \\ 1 & 500 & 2 \\ 1 & k & 1 \end{vmatrix}}{1}=400-k$

$z=\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 400 \\ 1 & 1 & 500 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}}{1}=500-k$

Se prepararon $3k-900$ cajas de tipo $A$, $400-k$ de tipo $B$ y $500-k$ de tipo $C$. Como un número de cajas no puede ser negativo, el enunciado solo tiene sentido si $300\le k\le 400$.