Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Comunidad de Madrid · 2026

Las siguientes gráficas muestran la oscilación de una onda armónica transversal que oscila en el eje $y$ en función del tiempo en $x=1\ \text{m}$, y la elongación en función de $x$ para el instante inicial. Si la onda se propaga en el sentido positivo del eje $x$, determine:

a) El periodo, el número de onda, la amplitud y la longitud de onda. [1,6 puntos]

b) La expresión matemática de la onda. [0,9 puntos]

$\textbf{a) (1,6 puntos) Determine el periodo, el número de onda, la amplitud y la longitud de onda.}$

Cada gráfica da una cosa distinta y conviene no confundirlas: la primera es el movimiento de un solo punto (el de $x=1\ \text{m}$) a lo largo del tiempo, y la segunda es la foto de toda la cuerda en el instante inicial.

De la gráfica temporal se lee el tiempo que tarda ese punto en dar una oscilación completa:

$T=1\ \text{s}$

De la gráfica espacial se lee la distancia entre dos crestas consecutivas:

$\lambda=4\ \text{m}$

La amplitud es la elongación máxima, y se lee igual de bien en cualquiera de las dos:

$A=3\ \text{m}$

El número de onda sale de la longitud de onda:

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad/m}$

$\textbf{b) (0,9 puntos) Escriba la expresión matemática de la onda.}$

La forma general de una onda armónica transversal es:

$y(x,t)=A\,\operatorname{sen}\left(\omega t\pm kx+\phi_0\right)$

La frecuencia angular sale del periodo:

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi\ \text{rad/s}$

Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $x$, el signo del término espacial es el negativo. Falta la fase inicial, y se obtiene imponiendo lo que dice la gráfica temporal: en $x=1\ \text{m}$ y $t=0$ la elongación es nula.

$0=3\operatorname{sen}\left(2\pi\cdot 0-\dfrac{\pi}{2}\cdot 1+\phi_0\right)\;\Rightarrow\;-\dfrac{\pi}{2}+\phi_0=n\pi\;\Rightarrow\;\phi_0=\dfrac{\pi}{2}\ \ \text{o}\ \ \phi_0=\dfrac{3\pi}{2}$

Pasar por cero no basta para decidir: hay que mirar hacia dónde va el punto. En la gráfica temporal, justo después de $t=0$ la elongación baja, luego la velocidad de vibración es negativa. Se deriva y se evalúa:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos\left(\omega t-kx+\phi_0\right)\;\Rightarrow\;v_y(1,0)=A\,\omega\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}+\phi_0\right)<0$

$\phi_0=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\cos(0)=1>0\ \text{(no vale)}\qquad \phi_0=\dfrac{3\pi}{2}\Rightarrow\cos(\pi)=-1<0\ \text{(vale)}$

La expresión de la onda es, con $y$ y $x$ en metros y $t$ en segundos:

$y(x,t)=3\operatorname{sen}\left(2\pi t-\dfrac{\pi}{2}x+\dfrac{3\pi}{2}\right)$

Con la función coseno la misma onda se escribe $y(x,t)=3\cos\left(2\pi t-\frac{\pi}{2}x+\pi\right)$, que es equivalente.