Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Un satélite de $50\ \text{kg}$ de masa describe inicialmente una órbita elíptica alrededor de la Tierra. Para obtener el periodo de la órbita se mide el tiempo de tránsito del satélite desde el perigeo (P) hasta el apogeo (A), encontrándose un valor de $55\,759{,}5\ \text{s}$. Se desea que pase a una órbita circular de radio $r_{cir}=8{,}2\cdot 10^{4}\ \text{km}$ alrededor de la Tierra, para lo cual se le proporciona un impulso instantáneo en la posición A (ver figura). Calcule:



a) El periodo, el semieje mayor y la distancia del centro de la Tierra al perigeo en la órbita elíptica. [1,2 puntos]

b) La energía mecánica del satélite en la órbita elíptica sabiendo que la velocidad en el perigeo es igual a $6{,}0\ \text{km s}^{-1}$. [0,6 puntos]

c) La energía mecánica del satélite en la órbita circular. [0,7 puntos]

Datos: Constante de la Gravitación Universal, $G=6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\text{ kg}^{-2}$; Masa de la Tierra, $M_T=5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) (1,2 puntos) Calcule el periodo, el semieje mayor y la distancia del centro de la Tierra al perigeo en la órbita elíptica.}$

El tiempo medido es el que tarda el satélite en ir del perigeo al apogeo, es decir, media vuelta. El periodo es el doble:

$T=2\cdot 55\,759{,}5=111\,519\ \text{s}=1{,}12\cdot 10^{5}\ \text{s}$

Para el semieje mayor se usa la tercera ley de Kepler, que en una órbita elíptica relaciona el periodo con el semieje mayor igual que en una circular lo hace con el radio:

$T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{G\,M_T}\,a^{3}\;\Rightarrow\;a=\sqrt[3]{\dfrac{T^{2}\,G\,M_T}{4\pi^{2}}}$

$a=\sqrt[3]{\dfrac{\left(1{,}12\cdot 10^{5}\right)^{2}\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{4\pi^{2}}}=5{,}01\cdot 10^{7}\ \text{m}$

El impulso se aplica en el apogeo, así que la órbita circular de destino es tangente a la elipse justo ahí: su radio es la distancia al apogeo.

$r_a=r_{cir}=8{,}2\cdot 10^{4}\ \text{km}=8{,}2\cdot 10^{7}\ \text{m}$

El semieje mayor es la semisuma de las distancias al apogeo y al perigeo, porque el eje mayor los une pasando por el centro de la Tierra:

$a=\dfrac{r_a+r_p}{2}\;\Rightarrow\;r_p=2a-r_a=2\cdot 5{,}01\cdot 10^{7}-8{,}2\cdot 10^{7}=1{,}81\cdot 10^{7}\ \text{m}$

$\textbf{b) (0,6 puntos) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita elíptica sabiendo que la velocidad en el perigeo es de 6,0 km/s.}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial gravitatoria, y se conserva a lo largo de toda la órbita: basta evaluarla en el punto del que se conocen los dos datos, el perigeo.

$E_M=\dfrac{1}{2}m\,v_p^{2}-\dfrac{G\,M_T\,m}{r_p}$

$E_M=\dfrac{1}{2}\cdot 50\cdot\left(6{,}0\cdot 10^{3}\right)^{2}-\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 50}{1{,}81\cdot 10^{7}}$

$E_M=9{,}0\cdot 10^{8}-1{,}10\cdot 10^{9}=-1{,}99\cdot 10^{8}\ \text{J}$

$\textbf{c) (0,7 puntos) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita circular.}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la centrípeta, y de ahí sale que la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial. La energía mecánica queda:

$E_M=-\dfrac{1}{2}\dfrac{G\,M_T\,m}{r_a}$

$E_M=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 50}{8{,}2\cdot 10^{7}}=-1{,}21\cdot 10^{8}\ \text{J}$

Las dos energías son negativas, como corresponde a órbitas ligadas. La de la órbita circular es mayor (menos negativa), así que el impulso en A tiene que aportar energía: la diferencia es de $7{,}8\cdot 10^{7}\ \text{J}$.