Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Considere la función real de variable real:

$f(x)=x^{3}+3x^{2}+ax+b$

a) Obtenga los valores de $a$ y $b$ para que la recta tangente a la función en el punto $(1,2)$ sea horizontal. [1 punto]

b) Si $a=-10$ y $b=0$, calcule el área delimitada por la función, el eje horizontal y las rectas $x=1$ y $x=3$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) (1 punto) Obtenga los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la recta tangente en el punto } \boldsymbol{(1,2)}\textbf{ sea horizontal.}$

Que la tangente sea horizontal significa que su pendiente es cero, y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada:

$f'(x)=3x^{2}+6x+a$

$f'(1)=0\;\Rightarrow\;3+6+a=0\;\Rightarrow\;a=-9$

Falta imponer que la curva pase por el punto, que es la segunda condición:

$f(1)=2\;\Rightarrow\;1+3+a+b=2\;\Rightarrow\;4-9+b=2\;\Rightarrow\;b=7$

Los valores buscados son $a=-9$ y $b=7$.

$\textbf{b) (1,5 puntos) Si } \boldsymbol{a=-10}\textbf{ y } \boldsymbol{b=0}\textbf{, calcule el área delimitada por la función, el eje horizontal y las rectas } \boldsymbol{x=1}\textbf{ y } \boldsymbol{x=3}\textbf{.}$

La función es ahora $f(x)=x^{3}+3x^{2}-10x$. Antes de integrar hay que localizar los cortes con el eje de abscisas dentro del intervalo, porque el área es la integral del valor absoluto:

$x^{3}+3x^{2}-10x=x\left(x^{2}+3x-10\right)=x(x+5)(x-2)=0\;\Rightarrow\;x=-5,\ x=0,\ x=2$

El único corte interior a $[1,3]$ es $x=2$, así que el recinto se parte en dos trozos: en $(1,2)$ la función es negativa y en $(2,3)$ positiva.



Se calcula una primitiva:

$F(x)=\displaystyle\int\left(x^{3}+3x^{2}-10x\right)dx=\dfrac{x^{4}}{4}+x^{3}-5x^{2}$

$F(1)=\dfrac14+1-5=-\dfrac{15}{4}\qquad F(2)=4+8-20=-8\qquad F(3)=\dfrac{81}{4}+27-45=\dfrac{9}{4}$

El primer trozo va con signo cambiado, porque la función queda por debajo del eje:

$A_1=\left|F(2)-F(1)\right|=\left|-8+\dfrac{15}{4}\right|=\dfrac{17}{4}$

$A_2=F(3)-F(2)=\dfrac{9}{4}+8=\dfrac{41}{4}$

$A=A_1+A_2=\dfrac{17}{4}+\dfrac{41}{4}=\dfrac{58}{4}=\dfrac{29}{2}$

El área encerrada es $\frac{29}{2}=14{,}5$ unidades cuadradas. Si se hubiera integrado de 1 a 3 sin partir el recinto habrían salido 6 unidades, porque los dos trozos se restarían en lugar de sumarse.