Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Considere la función real de variable real:

$f(x)=\begin{cases} e^{-3x+2} & \text{si } x<0 \\[2mm] \dfrac{x^{2}-4x+2}{x+1} & \text{si } x\ge 0 \end{cases}$

a) Determine razonadamente el dominio de la función. [0,5 puntos]

b) Estudie la continuidad de la función en $x=0$. [1 punto]

c) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Existe algún extremo de esta función? [1 punto]

$\textbf{a) (0,5 puntos) Determine razonadamente el dominio de la función.}$

Se estudia cada rama en el intervalo en el que actúa. Para $x<0$ la función es una exponencial, que está definida para cualquier número real. Para $x\ge 0$ es un cociente de polinomios, y el denominador solo se anula en $x=-1$, que no pertenece a ese tramo:

$x+1=0\;\Rightarrow\;x=-1\notin[0,+\infty)$

El dominio es $\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}$.

$\textbf{b) (1 punto) Estudie la continuidad de la función en } \boldsymbol{x=0}\textbf{.}$

Cada rama es continua en su intervalo, así que el único punto dudoso es el de empalme. Se calculan los dos límites laterales:

$\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}e^{-3x+2}=e^{2}\approx 7{,}39$

$\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{x^{2}-4x+2}{x+1}=\dfrac{2}{1}=2=f(0)$

$e^{2}\neq 2\;\Rightarrow\;\nexists\ \lim_{x\to 0}f(x)$

Los límites laterales existen pero son distintos, de modo que en $x=0$ hay una discontinuidad de salto finito, de amplitud $e^{2}-2\approx 5{,}39$. La función es continua en el resto de la recta real.

$\textbf{c) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. ¿Existe algún extremo?}$

Se deriva cada rama por separado. La exponencial:

$x<0:\quad f'(x)=-3e^{-3x+2}<0$

La exponencial es siempre positiva y va multiplicada por $-3$, así que la derivada es negativa en todo el tramo y la función decrece.

El cociente:

$x>0:\quad f'(x)=\dfrac{(2x-4)(x+1)-\left(x^{2}-4x+2\right)}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}+2x-6}{(x+1)^{2}}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, luego el signo lo marca el numerador:

$x^{2}+2x-6=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+24}}{2}=-1\pm\sqrt7$

La raíz $-1-\sqrt7\approx-3{,}65$ es negativa y queda fuera de este tramo; la que sirve es $x=\sqrt7-1\approx 1{,}65$.



$f'(x)<0\ \text{en}\ (-\infty,0)\ \text{y en}\ \left(0,\sqrt7-1\right)\qquad f'(x)>0\ \text{en}\ \left(\sqrt7-1,+\infty\right)$

La función decrece en $(-\infty,0)$ y en $\left(0,\sqrt7-1\right)$ y crece en $\left(\sqrt7-1,+\infty\right)$.

En $x=\sqrt7-1$ la derivada pasa de negativa a positiva: hay un mínimo relativo, y su valor es

$f\left(\sqrt7-1\right)=\dfrac{\left(\sqrt7-1\right)^{2}-4\left(\sqrt7-1\right)+2}{\sqrt7}=\dfrac{14-6\sqrt7}{\sqrt7}=2\sqrt7-6\approx-0{,}71$

El mínimo relativo está en $\left(\sqrt7-1,\ 2\sqrt7-6\right)\approx(1{,}65;\ -0{,}71)$. En $x=0$ no hay extremo: la función decrece a los dos lados y lo que ocurre allí es el salto de la discontinuidad.