Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Se consideran dos sucesos $A$ y $B$ tales que

$P(A\cap B)=0{,}1 \qquad P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}7 \qquad P(A\mid B)=0{,}4$

Resuelva las siguientes preguntas:

a) $P(B)$. [0,5 puntos]

b) $P(A\cup B)$. [0,5 puntos]

c) $P(A)$. [0,5 puntos]

d) $P\left(\overline{A}\mid\overline{B}\right)$. [0,5 puntos]

e) ¿Son independientes los sucesos $A$ y $B$? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]

Nota: $\overline{S}$ es el suceso complementario del suceso $S$.

Los datos del enunciado son $P(A\cap B)=0{,}1$, $P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=0{,}7$ y $P(A\mid B)=0{,}4$. Todo el ejercicio consiste en repartir la probabilidad entre las cuatro zonas del diagrama de Venn.



$\textbf{a) (0,5 puntos) Calcule } \boldsymbol{P(B)}\textbf{.}$

Se despeja de la definición de probabilidad condicionada:

$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\;\Rightarrow\;P(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A\mid B)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25$

$\textbf{b) (0,5 puntos) Calcule } \boldsymbol{P(A\cup B)}\textbf{.}$

Por las leyes de De Morgan, que ninguno de los dos sucesos ocurra es lo mismo que no ocurrir su unión:

$P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=P\left(\overline{A\cup B}\right)=1-P(A\cup B)$

$P(A\cup B)=1-0{,}7=0{,}3$

$\textbf{c) (0,5 puntos) Calcule } \boldsymbol{P(A)}\textbf{.}$

De la probabilidad de la unión:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\;\Rightarrow\;P(A)=0{,}3+0{,}1-0{,}25=0{,}15$

$\textbf{d) (0,5 puntos) Calcule } \boldsymbol{P\left(\overline{A}\mid\overline{B}\right)}\textbf{.}$

$P\left(\overline{A}\mid\overline{B}\right)=\dfrac{P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)}{P\left(\overline{B}\right)}=\dfrac{0{,}7}{1-0{,}25}=\dfrac{0{,}7}{0{,}75}=0{,}9333$

$\textbf{e) (0,5 puntos) ¿Son independientes los sucesos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{? Justifique la respuesta.}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades:

$P(A)\cdot P(B)=0{,}15\cdot 0{,}25=0{,}0375\neq 0{,}1=P(A\cap B)$

No son independientes. Se llega a lo mismo comparando probabilidades condicionadas: $P\left(\overline{A}\mid\overline{B}\right)=0{,}9333$ frente a $P\left(\overline{A}\right)=1-0{,}15=0{,}85$. Saber que $B$ no ha ocurrido cambia la probabilidad de $A$, luego los sucesos están relacionados.