Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Se está realizando un estudio sobre la utilización de IA por parte de los estudiantes universitarios en la elaboración de trabajos académicos. En dicho estudio participan un 30 % de estudiantes de Humanidades, un 45 % de estudiantes de Ciencias y un 25 % de estudiantes de Derecho. Además, por estudios anteriores, se estima que, en Humanidades el 15 % de los estudiantes utilizan la IA, en Ciencias el 5 % y en Derecho el 25 %.

a) Obtenga la probabilidad de que, elegido un trabajo al azar, haya sido realizado con la IA. [0,9 puntos]

b) Si se selecciona un trabajo que no ha sido realizado con la IA, obtenga la probabilidad de que pertenezca a un estudiante de Derecho. [0,8 puntos]

c) En la Facultad de Derecho, el detector de IA utilizado para este estudio tiene un 90 % de probabilidad de detectar los trabajos que realmente fueron realizados con IA, mientras que en un 8 % de las ocasiones clasifica los trabajos como realizados con la IA cuando realmente no se han realizado con dicha herramienta. Si al pasar un trabajo de un estudiante de Derecho por el detector este señala que se ha realizado con la IA, ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente se haya realizado con la IA? [0,8 puntos]

Se nombran los sucesos: $H$, «el trabajo es de un estudiante de Humanidades»; $C$, «de Ciencias»; $D$, «de Derecho»; y $IA$, «el trabajo se ha realizado con inteligencia artificial».

$P(H)=0{,}30\quad P(C)=0{,}45\quad P(D)=0{,}25$

$P(IA\mid H)=0{,}15\quad P(IA\mid C)=0{,}05\quad P(IA\mid D)=0{,}25$



$\textbf{a) (0,9 puntos) Obtenga la probabilidad de que un trabajo elegido al azar haya sido realizado con la IA.}$

Las tres procedencias forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que acaban en $IA$:

$P(IA)=P(H)P(IA\mid H)+P(C)P(IA\mid C)+P(D)P(IA\mid D)$

$P(IA)=0{,}30\cdot 0{,}15+0{,}45\cdot 0{,}05+0{,}25\cdot 0{,}25=0{,}045+0{,}0225+0{,}0625=0{,}13$

El 13 por ciento de los trabajos se ha realizado con inteligencia artificial.

$\textbf{b) (0,8 puntos) Si se selecciona un trabajo que no ha sido realizado con la IA, obtenga la probabilidad de que pertenezca a un estudiante de Derecho.}$

Se pregunta por la causa conocido el efecto, luego es el teorema de Bayes. El complementario del apartado anterior da el denominador:

$P\left(\overline{IA}\right)=1-0{,}13=0{,}87$

$P\left(D\mid \overline{IA}\right)=\dfrac{P(D)\cdot P\left(\overline{IA}\mid D\right)}{P\left(\overline{IA}\right)}=\dfrac{0{,}25\cdot 0{,}75}{0{,}87}=\dfrac{0{,}1875}{0{,}87}=0{,}2155$

$\textbf{c) (0,8 puntos) Si el detector señala que un trabajo de Derecho se ha realizado con la IA, ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente se haya realizado con la IA?}$

Este apartado se mueve solo dentro de la Facultad de Derecho, así que la probabilidad de partida ya no es la del total: es $P(IA\mid D)=0{,}25$. Se llama $T$ al suceso «el detector señala el trabajo como hecho con IA», y los datos del detector son su sensibilidad y su tasa de falsos positivos:

$P(T\mid IA)=0{,}90\qquad P\left(T\mid \overline{IA}\right)=0{,}08$



De nuevo Bayes, con la probabilidad total en el denominador:

$P(IA\mid T)=\dfrac{P(IA)\,P(T\mid IA)}{P(IA)\,P(T\mid IA)+P\left(\overline{IA}\right)P\left(T\mid \overline{IA}\right)}$

$P(IA\mid T)=\dfrac{0{,}25\cdot 0{,}90}{0{,}25\cdot 0{,}90+0{,}75\cdot 0{,}08}=\dfrac{0{,}225}{0{,}225+0{,}06}=\dfrac{0{,}225}{0{,}285}=0{,}79$

Cuando el detector acusa a un trabajo de Derecho, acierta el 79 por ciento de las veces: uno de cada cinco avisos es un falso positivo, porque los trabajos limpios son tres veces más numerosos y arrastran un 8 por ciento de errores.