Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices

$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad C=\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

a) Calcule, si existe, la matriz $D=(AB+I)^{-1}$, donde $M^{-1}$ significa la matriz inversa de $M$ e $I$ es la matriz identidad. [1 punto]

b) Obtenga, si existe, el valor de $k$ para que se verifique $AA^{t}-kB^{t}B=C$, donde $M^{t}$ representa la matriz transpuesta de la matriz $M$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) (1 punto) Calcule, si existe, la matriz } \boldsymbol{D=(AB+I)^{-1}}\textbf{.}$

Primero se multiplica $A$ (de tamaño $2\times 3$) por $B$ (de tamaño $3\times 2$); el resultado es una matriz cuadrada de orden dos, que es la que puede tener inversa:

$AB=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$AB+I=\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

La inversa existe si el determinante no se anula:

$|AB+I|=5\cdot 2-4\cdot 2=2\neq 0$

Para una matriz de orden dos la inversa se escribe directamente: se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo a los otros dos y se divide todo por el determinante:

$D=(AB+I)^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2{,}5 \end{pmatrix}$

$\textbf{b) (1,5 puntos) Obtenga, si existe, el valor de } \boldsymbol{k}\textbf{ para que se verifique } \boldsymbol{AA^{t}-kB^{t}B=C}\textbf{.}$

Se calculan por separado los dos productos, que son ambos matrices cuadradas de orden dos:

$AA^{t}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

$B^{t}B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

Se resta y se iguala a $C$ elemento a elemento:

$AA^{t}-k\,B^{t}B=\begin{pmatrix} 11-2k & 3-k \\ 3-k & 5-2k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$11-2k=5\Rightarrow k=3\qquad 3-k=0\Rightarrow k=3\qquad 5-2k=-1\Rightarrow k=3$

Las cuatro ecuaciones dan el mismo valor, así que la igualdad sí es posible y se cumple para $k=3$.