Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Halle el valor real $a$ tal que

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(x-a)\operatorname{sen}(3x)\,dx=\dfrac{2\pi}{9}.$ [2 puntos]

$\textbf{(2 puntos) Halle el valor real } \boldsymbol{a}\textbf{ tal que } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}(x-a)\operatorname{sen}(3x)\,dx=\dfrac{2\pi}{9}}\textbf{.}$

Se separa la integral en dos, una con el factor $x$ y otra con la constante:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}(x-a)\operatorname{sen}(3x)\,dx=\int_{0}^{\pi/3}x\operatorname{sen}(3x)\,dx-a\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sen}(3x)\,dx$

La primera se hace por partes, tomando como $u$ el polinomio para que al derivar desaparezca:

$u=x\Rightarrow du=dx,\qquad dv=\operatorname{sen}(3x)dx\Rightarrow v=-\dfrac{1}{3}\cos(3x)$

$\displaystyle\int x\operatorname{sen}(3x)\,dx=-\dfrac{1}{3}x\cos(3x)+\dfrac{1}{3}\int\cos(3x)\,dx=-\dfrac{1}{3}x\cos(3x)+\dfrac{1}{9}\operatorname{sen}(3x)+C$

Se aplica la regla de Barrow entre 0 y $\frac{\pi}{3}$, teniendo en cuenta que $\cos\pi=-1$ y $\operatorname{sen}\pi=0$:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}x\operatorname{sen}(3x)\,dx=\left[-\dfrac{1}{3}x\cos(3x)+\dfrac{1}{9}\operatorname{sen}(3x)\right]_{0}^{\pi/3}=-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\pi}{3}\cdot(-1)+0=\dfrac{\pi}{9}$

La segunda es inmediata:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sen}(3x)\,dx=\left[-\dfrac{1}{3}\cos(3x)\right]_{0}^{\pi/3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$

Se junta todo y se impone el valor que da el enunciado:

$\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{2a}{3}=\dfrac{2\pi}{9}\;\Rightarrow\;-\dfrac{2a}{3}=\dfrac{\pi}{9}\;\Rightarrow\;a=-\dfrac{\pi}{6}$

El valor buscado es $a=-\dfrac{\pi}{6}\approx-0{,}5236$.