Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Sean las rectas $r_1\equiv (x,y,z)=(1+t,\,1,\,0)$ y $r_2\equiv (x,y,z)=(1+s,\,s,\,0)$, con $t,\ s\in\mathbb{R}$.

a) Estudie la posición relativa de las rectas $r_1$ y $r_2$. [1 punto]

b) Halle una recta $r_3$ tal que las intersecciones de $r_1$, $r_2$ y $r_3$ formen un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa esté contenida en $r_2$ y tenga longitud $\sqrt{2}$. [1 punto]

$\textbf{a) (1 punto) Estudie la posición relativa de las rectas } \boldsymbol{r_1}\textbf{ y } \boldsymbol{r_2}\textbf{.}$



De las ecuaciones paramétricas se leen un punto y un vector director de cada recta:

$r_1:\ A(1,1,0),\ \vec v_1=(1,0,0)\qquad r_2:\ B(1,0,0),\ \vec v_2=(1,1,0)$

Los vectores directores no son proporcionales, así que las rectas no son ni paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Para decidirlo se compara el rango de la matriz de los directores con el de la matriz que incluye además el vector $\overrightarrow{AB}=(0,-1,0)$:

$\begin{pmatrix} \vec v_1 \\ \vec v_2 \\ \overrightarrow{AB} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix}=0$

El determinante se anula (la tercera columna es nula), luego esa matriz tiene rango 2, el mismo que la de los directores. Los tres vectores son coplanarios y las rectas son secantes.

El punto de corte se obtiene igualando las dos parametrizaciones:

$(1+t,\,1,\,0)=(1+s,\,s,\,0)\;\Rightarrow\;s=1,\ t=s=1\;\Rightarrow\;Q(2,1,0)$

Las rectas $r_1$ y $r_2$ se cortan en el punto $Q(2,1,0)$.

$\textbf{b) (1 punto) Halle una recta } \boldsymbol{r_3}\textbf{ tal que las intersecciones de } \boldsymbol{r_1}\textbf{, } \boldsymbol{r_2}\textbf{ y } \boldsymbol{r_3}\textbf{ formen un triángulo rectángulo de hipotenusa contenida en } \boldsymbol{r_2}\textbf{ y de longitud } \boldsymbol{\sqrt2}\textbf{.}$

Si la hipotenusa está sobre $r_2$, el ángulo recto es el que forman los otros dos lados, es decir, el que hay entre $r_1$ y $r_3$. Un extremo de la hipotenusa es el vértice común a $r_1$ y $r_2$, que es $Q(2,1,0)$; el otro es el punto de $r_2$ donde corta $r_3$, y tiene que estar a distancia $\sqrt2$ de $Q$:

$d\left((1+s,\,s,\,0),\,Q\right)=\sqrt{(s-1)^{2}+(s-1)^{2}}=\sqrt{2}\;\Rightarrow\;2(s-1)^{2}=2\;\Rightarrow\;(s-1)^{2}=1$

$s=0\ \Rightarrow\ M(1,0,0)\qquad s=2\ \Rightarrow\ N(3,2,0)$

Las dos rectas dadas están en el plano $z=0$, así que el triángulo también, y el director de $r_3$ es de la forma $\vec v=(a,b,0)$. La condición de perpendicularidad con $r_1$ fija el valor de $a$:

$\vec v\cdot\vec v_1=(a,b,0)\cdot(1,0,0)=a=0\;\Rightarrow\;\vec v=(0,1,0)$

Hay, por tanto, dos soluciones, una por cada extremo posible de la hipotenusa:

$r_3\equiv(x,y,z)=(1,0,0)+\lambda(0,1,0)\qquad\text{o}\qquad r_3'\equiv(x,y,z)=(3,2,0)+\lambda(0,1,0)$

con $\lambda\in\mathbb{R}$. Con la primera, el triángulo tiene vértices $M(1,0,0)$, $(1,1,0)$ y $Q(2,1,0)$: los catetos miden 1 y la hipotenusa $\sqrt2$, como pedía el enunciado.