Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Galicia · 2026

PREGUNTA 2. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. (2,5 puntos)

2.1. Resuelva esta cuestión. (1 punto)

Dos hilos de corriente eléctrica paralelos y de gran longitud están separados entre sí una distancia d. La corriente que circula por el primer hilo es de 2 A dirigida hacia arriba. Determina el valor y sentido de la corriente en el segundo hilo para que el campo magnético creado por los dos hilos sea nulo en un punto colocado entre ellos y a una distancia d/3 del primero.

2.2. Resuelva uno de estos dos problemas: (1,5 puntos)

2.2.1. Siguiendo el esquema de la figura adjunta, se colocan dos cargas puntuales de 1 mC en los puntos (1,0) y (-1,0).



a) Calcule la carga que debe situarse en el punto (0,0) para que la intensidad de campo electrostático en el punto (0,1) sea nula.

b) En esta situación en la que están presentes las tres cargas, calcule el trabajo necesario para desplazar una carga de 2 μC desde el infinito hasta el punto (0,1).

2.2.2. Una masa de 5 g cargada con una carga Q está unida a una cuerda de masa despreciable. Cuando este conjunto se introduce en el seno de un campo electrostático uniforme horizontal de $10^3$ N/C la cuerda forma con la vertical un ángulo de 30º.

a) Calcule el valor de la carga Q

b) Si se rompe la cuerda y este campo acelera la masa cargada hasta alcanzar una velocidad horizontal de 100 m/s, entrando justo en ese momento en una zona en la que existe únicamente un campo magnético B = 0,3 T en la dirección vertical y hacia arriba, ¿cuál será el vector aceleración que actuará sobre la carga en ese momento? Justifique su respuesta despreciando la interacción gravitatoria.

DATOS: $k = 9\cdot 10^9\ \mathrm{N\ m^2/C^2}$

$\textbf{2.1. Corriente en el segundo hilo para que el campo magnético se anule. (1 punto)}$

El campo magnético creado por un hilo rectilíneo indefinido a una distancia $r$ vale, según la ley de Biot y Savart:

$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Sus líneas de campo son circunferencias contenidas en el plano perpendicular al hilo, y su sentido lo da la regla de la mano derecha: con el pulgar en el sentido de la corriente, los dedos indican el sentido del campo.

El punto en cuestión está entre los dos hilos, a $d/3$ del primero y, por tanto, a $d - d/3 = 2d/3$ del segundo.

$\textbf{Sentido de la corriente.}$ Este es el paso que hay que razonar antes de calcular nada. En un punto situado $\textbf{entre}$ los dos hilos, si las dos corrientes van en el mismo sentido los dos campos son opuestos, porque el punto queda a un lado de un hilo y al otro lado del otro. Si las corrientes fuesen de sentidos contrarios, los dos campos se sumarían y nunca podrían anularse. Luego la corriente del segundo hilo tiene que ir también $\textbf{hacia arriba}$.

$\textbf{Valor de la corriente.}$ Anular el campo total exige que los dos módulos coincidan:

$\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi\,(d/3)} = \dfrac{\mu_0 I_2}{2\pi\,(2d/3)}$

La permeabilidad, el $2\pi$ y la distancia $d$ se simplifican:

$\dfrac{I_1}{1/3} = \dfrac{I_2}{2/3} \ \Longrightarrow\ 3I_1 = \dfrac{3I_2}{2} \ \Longrightarrow\ I_2 = 2\,I_1$

$\boxed{I_2 = 2\cdot 2 = 4\ \mathrm{A, hacia arriba}}$

El resultado es razonable: el punto está al doble de distancia del segundo hilo, y como el campo decae con el inverso de la distancia, hace falta el doble de corriente para compensar.

$\textbf{2.2.1. Dos cargas puntuales de 1 mC en (1,0) y (-1,0). (1,5 puntos)}$

$\textbf{a) Carga que debe situarse en (0,0) para que el campo en (0,1) sea nulo.}$

Se empieza por el campo que crean las dos cargas del enunciado en el punto $P(0,1)$. Ambas están a la misma distancia de $P$:

$r = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2\ \mathrm{m} \qquad\qquad r^2 = 2\ \mathrm{m^2}$

El módulo del campo de cada una es, por tanto, el mismo:

$E_1 = E_2 = k\dfrac{Q}{r^2} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{10^{-3}}{2} = 4{,}5\cdot10^{6}\ \mathrm{N/C}$

Por simetría, los dos vectores forman el mismo ángulo con la vertical y sus componentes horizontales son opuestas, de modo que se cancelan. Solo sobreviven las verticales, que son iguales y se suman. El ángulo que forma cada vector con el eje $y$ es de 45°, así que:

$E_y = 2\,E_1\cos 45^\circ = 2\cdot 4{,}5\cdot10^{6}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = 6{,}36\cdot10^{6}\ \mathrm{N/C}$

Es un campo dirigido en el sentido positivo del eje $y$, alejándose de las cargas, que son positivas.

Para anularlo, la carga $q$ del origen tiene que crear en $P$ un campo del mismo módulo y sentido contrario, es decir, apuntando hacia el origen. Eso obliga a que $q$ sea $\textbf{negativa}$. Está a 1 m de $P$:

$k\dfrac{|q|}{1^2} = 6{,}36\cdot10^{6} \ \Longrightarrow\ |q| = \dfrac{6{,}36\cdot10^{6}}{9\cdot10^{9}} = 7{,}07\cdot10^{-4}\ \mathrm{C}$

$\boxed{q = -7{,}07\cdot10^{-4}\ \mathrm{C} = -0{,}71\ \mathrm{mC}}$

En forma exacta, $q = -\dfrac{Q}{\sqrt2}$: basta con dividir la carga del enunciado por $\sqrt2$, sin necesidad de pasar por los valores numéricos.

$\textbf{b) Trabajo para traer una carga de 2 μC desde el infinito hasta (0,1).}$

El potencial es un escalar, así que se suman directamente las tres contribuciones, sin descomponer en componentes. Tomando el origen de potenciales en el infinito:

$V_P = k\left(\dfrac{Q}{\sqrt2} + \dfrac{Q}{\sqrt2} + \dfrac{q}{1}\right) = k\left(\dfrac{2Q}{\sqrt2} + q\right)$

Sustituyendo $q = -Q/\sqrt2$:

$V_P = k\,Q\left(\dfrac{2}{\sqrt2} - \dfrac{1}{\sqrt2}\right) = \dfrac{k\,Q}{\sqrt2} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot 10^{-3}}{\sqrt2}$

$V_P = 6{,}36\cdot10^{6}\ \mathrm{V}$

Nótese que el potencial en $P$ $\textbf{no es cero}$ aunque el campo sí lo sea. Son cosas distintas: el campo nulo dice que el potencial no varía en las inmediaciones del punto, no que valga cero.

El trabajo que hay que realizar desde fuera para traer la carga $q_0 = 2\ \mu\mathrm{C}$ desde el infinito es igual a la variación de su energía potencial:

$W_{\text{ext}} = \Delta E_p = q_0\,(V_P - V_\infty) = q_0\,V_P$

$W_{\text{ext}} = 2\cdot10^{-6}\cdot 6{,}36\cdot10^{6}$

$\boxed{W_{\text{ext}} = 12{,}7\ \mathrm{J}}$

El signo positivo indica que hay que aportar energía: la carga que se trae es positiva y la región tiene potencial positivo, de modo que el sistema la repele y hay que empujarla. El trabajo realizado por el propio campo electrostático sería el mismo con signo contrario, $-12{,}7$ J.

$\textbf{2.2.2. Masa cargada colgada de una cuerda en un campo eléctrico. (1,5 puntos)}$

$\textbf{a) Valor de la carga Q.}$

Con la cuerda desviada 30° de la vertical y en equilibrio, sobre la masa actúan tres fuerzas: el peso $mg$ hacia abajo, la fuerza eléctrica $QE$ horizontal y la tensión $T$ a lo largo de la cuerda.

Descomponiendo la tensión en sus componentes y aplicando que la resultante es nula:

$T\sin 30^\circ = Q\,E \qquad\qquad T\cos 30^\circ = m\,g$

Dividiendo la primera ecuación entre la segunda desaparece la tensión, que no interesa:

$\tan 30^\circ = \dfrac{Q\,E}{m\,g} \ \Longrightarrow\ Q = \dfrac{m\,g\,\tan 30^\circ}{E}$

$Q = \dfrac{5\cdot10^{-3}\cdot 9{,}8\cdot 0{,}577}{10^{3}}$

$\boxed{Q = 2{,}83\cdot10^{-5}\ \mathrm{C} = 28{,}3\ \mu\mathrm{C}}$

La carga es positiva si la cuerda se desvía en el sentido del campo, que es lo que se supone aquí.

$\textbf{b) Vector aceleración al entrar en el campo magnético.}$

Una vez rota la cuerda, la partícula ha sido acelerada por el campo eléctrico hasta $v = 100$ m/s en dirección horizontal. En ese instante entra en una región donde solo hay campo magnético $B = 0{,}3$ T, vertical y hacia arriba.

La fuerza sobre una carga en movimiento dentro de un campo magnético es la fuerza de Lorentz:

$\vec F = Q\,\vec v \times \vec B$

$\textbf{Dirección y sentido.}$ Tomando el eje $x$ en la dirección de la velocidad y el eje $z$ vertical hacia arriba:

$\vec v = 100\,\vec\imath\ \mathrm{m/s} \qquad\qquad \vec B = 0{,}3\,\vec k\ \mathrm{T}$

$\vec v \times \vec B = 100\cdot 0{,}3\,(\vec\imath \times \vec k) = -30\,\vec\jmath$

$\vec F = Q\,(-30\,\vec\jmath) = -2{,}83\cdot10^{-5}\cdot 30\,\vec\jmath = -8{,}49\cdot10^{-4}\,\vec\jmath\ \mathrm{N}$

Como $\vec v$ y $\vec B$ son perpendiculares, el módulo es simplemente el producto de los tres factores:

$F = Q\,v\,B = 2{,}83\cdot10^{-5}\cdot 100\cdot 0{,}3 = 8{,}49\cdot10^{-4}\ \mathrm{N}$

$\textbf{Módulo de la aceleración.}$ Por la segunda ley de Newton:

$a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{8{,}49\cdot10^{-4}}{5\cdot10^{-3}}$

$\boxed{\vec a = -0{,}17\,\vec\jmath\ \mathrm{m/s^2}, \quad |\vec a| = 0{,}17\ \mathrm{m/s^2}}$

$\textbf{Justificación.}$ El vector aceleración es horizontal y $\textbf{perpendicular a la velocidad}$, porque el producto vectorial lo es a sus dos factores. Al ser siempre perpendicular a $\vec v$, la fuerza magnética no realiza trabajo y no cambia el módulo de la velocidad: solo curva la trayectoria. La partícula describe un movimiento circular uniforme en el plano horizontal, con aceleración puramente normal, de radio

$R = \dfrac{m\,v}{Q\,B} = \dfrac{5\cdot10^{-3}\cdot 100}{2{,}83\cdot10^{-5}\cdot 0{,}3} = 5{,}9\cdot10^{4}\ \mathrm{m}$

un radio enorme, coherente con una aceleración tan pequeña.