Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

PREGUNTA 4. ESTADÍSTICA Y ÁLGEBRA. (3 puntos)

Responda uno de los siguientes dos apartados de Estadística: 4.1. o 4.2. (1,5 puntos)

4.1. El gasto mensual en fotocopias de los alumnos de un instituto sigue una distribución normal con desviación típica igual a 2 euros. Obtenga un intervalo de confianza al 95 % para el gasto medio mensual en fotocopias de dichos estudiantes teniendo en cuenta que en una muestra de 36 estudiantes resultó un gasto medio de 13,5 euros.

Nota: Para resolver el apartado anterior puede emplearse alguno de los siguientes valores relacionados con las tablas de la normal estándar:

$P(Z < 0{,}90) = 0{,}816 \ ;\ P(Z < 1{,}28) = 0{,}90 \ ;\ P(Z > 1{,}645) = 0{,}05 \ ;\ P(Z > 1{,}96) = 0{,}025$.

4.2. Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que:

$P(A) = 0{,}60$, $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}24$ y $P(B \mid A) = 0{,}90$.

Calcule $P(B)$.

Responda uno de los siguientes dos apartados de Álgebra: 4.3. o 4.4. (1,5 puntos)

4.3. Una bodega cuenta con una planta de embotellado en la que embotellan 1300 botellas por hora utilizando tres máquinas: $M_1$, $M_2$ y $M_3$. Se sabe que la máquina $M_1$ es más rápida que la máquina $M_2$, ya que embotella un 25 % más de botellas. También se sabe que ayer tuvieron que prescindir de la máquina $M_2$ por tener una avería, y que utilizando dos horas la máquina $M_1$ y tres horas la máquina $M_3$ embotellaron 2030 botellas. Formule el sistema de ecuaciones asociado a este problema y expréselo en forma matricial.

4.4. Considere el sistema de inecuaciones dado por:

$x \le 2(y + 1) \qquad y \le 2(x + 1) \qquad x + y \le 5$

Represente gráficamente la región factible determinada por el sistema de inecuaciones anterior y calcule sus vértices.

Se resuelven los cuatro apartados, aunque el examen solo pide uno de Estadística y uno de Álgebra.

$\textbf{4.1. Intervalo de confianza al 95 \% para el gasto medio mensual en fotocopias.}$

Los datos son: población normal con $\sigma = 2$ €, muestra de tamaño $n = 36$ y media muestral $\bar x = 13{,}5$ €.

El intervalo de confianza para la media, conocida la desviación típica poblacional, es:

$IC = \left(\bar x - z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \ \bar x + z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)$

$\textbf{Valor crítico.}$ El nivel de confianza es $1-\alpha = 0{,}95$, luego $\alpha = 0{,}05$ y $\alpha/2 = 0{,}025$. Hay que buscar el valor que deja 0,025 de probabilidad en la cola derecha, y la nota del enunciado lo da directamente:

$P(Z > 1{,}96) = 0{,}025 \ \Longrightarrow\ z_{\alpha/2} = 1{,}96$

$\textbf{Error máximo admisible.}$

$E = z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n} = 1{,}96\cdot\dfrac{2}{\sqrt{36}} = 1{,}96\cdot\dfrac{2}{6} = 0{,}6533$

$\textbf{Extremos del intervalo.}$

$13{,}5 - 0{,}6533 = 12{,}8467 \qquad\qquad 13{,}5 + 0{,}6533 = 14{,}1533$

$\boxed{IC_{95\%} = (12{,}85\ ;\ 14{,}15)\ \text{euros}}$

La interpretación es la habitual: si se repitiese el muestreo muchas veces y se construyese cada vez este intervalo, el 95 % de ellos contendría el verdadero gasto medio mensual de todos los alumnos del instituto.

Los otros tres valores de la nota son distractores: 1,645 corresponde al 90 % de confianza y los otros dos no son valores críticos de una cola del 2,5 %.

$\textbf{4.2. Sean } A \textbf{ y } B \textbf{ con } P(A)=0{,}60\textbf{, } P(\bar A \cap \bar B) = 0{,}24 \textbf{ y } P(B|A) = 0{,}90\textbf{. Calcule } P(B)\textbf{.}$

Se traducen los dos datos que no son inmediatos.

El primero, por las leyes de De Morgan, dice que la intersección de los contrarios es el contrario de la unión:

$P(\bar A \cap \bar B) = P(\overline{A\cup B}) = 1 - P(A\cup B) = 0{,}24$

$P(A\cup B) = 1 - 0{,}24 = 0{,}76$

El segundo permite obtener la intersección, despejando de la definición de probabilidad condicionada:

$P(B|A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \ \Longrightarrow\ P(A\cap B) = P(B|A)\cdot P(A)$

$P(A\cap B) = 0{,}90 \cdot 0{,}60 = 0{,}54$

Ahora se despeja $P(B)$ de la fórmula de la probabilidad de la unión:

$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$

$0{,}76 = 0{,}60 + P(B) - 0{,}54$

$P(B) = 0{,}76 - 0{,}60 + 0{,}54$

$\boxed{P(B) = 0{,}70}$

Comprobación de coherencia: $P(A\cap B) = 0{,}54$ es menor que $P(A) = 0{,}60$ y que $P(B) = 0{,}70$, como debe ser, y el producto $P(A)P(B) = 0{,}42 \ne 0{,}54$, luego los sucesos no son independientes.

$\textbf{4.3. Planta de embotellado: formule el sistema y exprésalo en forma matricial.}$

Se nombran las incógnitas con lo que se quiere averiguar, que es el rendimiento por hora de cada máquina:

$x$ = botellas por hora de la máquina $M_1$

$y$ = botellas por hora de la máquina $M_2$

$z$ = botellas por hora de la máquina $M_3$

Cada frase del enunciado da una ecuación:

i) «Embotellan 1300 botellas por hora utilizando tres máquinas»: trabajando las tres a la vez durante una hora salen 1300 botellas.

$x + y + z = 1300$

ii) «$M_1$ embotella un 25 % más de botellas que $M_2$»: el rendimiento de la primera es el de la segunda aumentado en su cuarta parte.

$x = 1{,}25\,y \ \Longrightarrow\ 4x - 5y = 0$

iii) «Dos horas la máquina $M_1$ y tres horas la $M_3$ embotellaron 2030 botellas»:

$2x + 3z = 2030$

El sistema es, por tanto:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &+& z &=& 1300 \\ 4x &-& 5y & & &=& 0 \\ 2x & & &+& 3z &=& 2030 \end{array}\right.$

En forma matricial $A\cdot X = C$, donde $A$ es la matriz de coeficientes, $X$ la de incógnitas y $C$ la de términos independientes:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & -5 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1300 \\ 0 \\ 2030 \end{pmatrix}$

El enunciado no pide resolverlo, pero conviene saber que el sistema es compatible determinado, porque $|A| = -51 \ne 0$, y que su solución es $x = 550$, $y = 440$ y $z = 310$ botellas por hora. Se comprueba en las tres ecuaciones: $550+440+310 = 1300$; $1{,}25\cdot 440 = 550$; y $2\cdot 550 + 3\cdot 310 = 1100+930 = 2030$.

$\textbf{4.4. Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.}$

Primero se escriben las tres inecuaciones con todas las incógnitas en el mismo miembro:

$x \le 2(y+1) = 2y+2 \ \Longrightarrow\ x - 2y \le 2$

$y \le 2(x+1) = 2x+2 \ \Longrightarrow\ y - 2x \le 2$

$x + y \le 5$

Cada inecuación define un semiplano limitado por la recta que se obtiene al sustituir la desigualdad por una igualdad. Para saber cuál de los dos semiplanos vale se prueba con un punto cualquiera que no esté en la recta; el origen sirve para las tres:

$0 - 0 = 0 \le 2$, se cumple; $0 - 0 = 0 \le 2$, se cumple; $0 + 0 = 0 \le 5$, se cumple.

Luego los tres semiplanos son los que contienen al origen, y la región factible es su intersección.



$\textbf{Vértices.}$ Cada uno es el corte de dos de las tres rectas, y hay que comprobar que cumple también la tercera inecuación.

$\textbf{i) } x-2y=2 \textbf{ con } y-2x=2$. De la segunda, $y = 2x+2$; sustituyendo en la primera:

$x - 2(2x+2) = 2 \ \Longrightarrow\ x - 4x - 4 = 2 \ \Longrightarrow\ -3x = 6 \ \Longrightarrow\ x = -2$

$y = 2(-2)+2 = -2$, luego el vértice es $A(-2,-2)$. Cumple la tercera: $-2-2 = -4 \le 5$.

$\textbf{ii) } x-2y=2 \textbf{ con } x+y=5$. De la segunda, $x = 5-y$:

$5-y-2y = 2 \ \Longrightarrow\ 3y = 3 \ \Longrightarrow\ y = 1, \quad x = 4$

El vértice es $B(4,1)$. Cumple la segunda inecuación: $1 - 8 = -7 \le 2$.

$\textbf{iii) } y-2x=2 \textbf{ con } x+y=5$. De la segunda, $y = 5-x$:

$5-x-2x = 2 \ \Longrightarrow\ 3x = 3 \ \Longrightarrow\ x = 1, \quad y = 4$

El vértice es $C(1,4)$. Cumple la primera: $1-8 = -7 \le 2$.

$\boxed{A(-2,-2), \qquad B(4,1), \qquad C(1,4)}$

La región factible es el $\textbf{triángulo}$ de esos tres vértices, y es un recinto $\textbf{cerrado y acotado}$. Eso garantiza, por el teorema fundamental de la programación lineal, que cualquier función objetivo lineal alcanzaría en él tanto su máximo como su mínimo, y que lo haría en alguno de los tres vértices.