Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2026

PREGUNTA 3. ANÁLISIS. (3 puntos)

Responda uno de los siguientes apartados: 3.1. o 3.2.

3.1.

CONTEXTO

Todos los años, en las semanas previas a la Navidad, arranca la temporada de la captura de la centolla en Galicia. La apertura de la veda de este crustáceo genera mucha expectación. En una lonja de un municipio costero de Galicia se estima que los datos referentes a las capturas diarias de centolla (en cientos de kilogramos) durante los cinco primeros días de la última campaña vienen dadas por la función

$C(t) = t^3 - 9t^2 + 24t \qquad , \qquad 0 \le t \le 5$

en donde la variable $t$ representa el tiempo transcurrido en días.

Responda estos tres apartados: 3.1.1., 3.1.2. y 3.1.3.

3.1.1. Determine los períodos de aumento y disminución de las capturas diarias de centolla. Contextualice las respuestas.

3.1.2. ¿A cuánto ascienden las capturas diarias máximas? ¿En qué momento o momentos se producen? Contextualice las respuestas.

3.1.3. Teniendo en cuenta el modelo anterior, calcule la cantidad total de capturas que se han producido durante los cinco primeros días de la campaña ($\int_0^5 C(t)\,dt$).

3.2.

CONTEXTO

Para ayudar a los inversores, se utilizan diversos modelos matemáticos que estiman el valor de las acciones de las empresas que cotizan en bolsa según el tiempo transcurrido. Si bien no pueden predecir exactamente el futuro, constituyen una herramienta para tomar decisiones y para interpretar datos reales.

El valor de una acción (en euros) de una empresa tecnológica que cotiza en bolsa se estima que viene dado por la función

$V(t) = \dfrac{80 - 40t}{t^2 - 4t + 5} + 30 \qquad , \qquad t \ge 0$

en donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses desde el momento en el que la acción ha salido a la venta.

Responda estos tres apartados: 3.2.1., 3.2.2. y 3.2.3.

3.2.1. Determine los períodos en los que el valor de la acción ha crecido y en los que ha decrecido. Contextualice las respuestas.

3.2.2. ¿Cuál es el valor máximo que ha alcanzado la acción? ¿Y cuál es el valor mínimo? ¿En qué momentos se producen? Contextualice las respuestas.

3.2.3. Teniendo en cuenta la función utilizada, ¿qué ocurrirá con el valor de la acción con el paso del tiempo? Justifique su respuesta.

Se resuelven los dos contextos, aunque el examen solo pide uno.

$\textbf{3.1. Capturas de centolla: } C(t) = t^3 - 9t^2 + 24t\textbf{, con } 0 \le t \le 5\textbf{.}$

$\textbf{3.1.1. Determine los períodos de aumento y disminución de las capturas diarias.}$

La monotonía la da el signo de la derivada:

$C'(t) = 3t^2 - 18t + 24 = 3(t^2 - 6t + 8) = 3(t-2)(t-4)$

Los puntos donde se anula son:

$t = 2 \qquad\qquad t = 4$

Los dos están dentro del intervalo $[0,5]$ y lo parten en tres tramos. Como la parábola $C'(t)$ abre hacia arriba, es positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas. Se comprueba con un valor de prueba de cada tramo:

$C'(1) = 3(-1)(-3) = 9 > 0 \qquad C'(3) = 3(1)(-1) = -3 < 0 \qquad C'(5) = 3(3)(1) = 9 > 0$



En el contexto del problema:

i) $\textbf{Del día 0 al día 2}$ las capturas diarias $\textbf{aumentan}$. Es el arranque de la campaña, con la flota volcada en el caladero recién abierto.

ii) $\textbf{Del día 2 al día 4}$ las capturas diarias $\textbf{disminuyen}$. El banco se ha ido esquilmando y cada jornada rinde menos que la anterior.

iii) $\textbf{Del día 4 al día 5}$ las capturas diarias vuelven a $\textbf{aumentar}$.

$\textbf{3.1.2. ¿A cuánto ascienden las capturas diarias máximas? ¿En qué momento o momentos se producen?}$

Hay que buscar el máximo absoluto en el intervalo cerrado $[0,5]$, así que se comparan los valores de la función en los puntos críticos y en los dos extremos:

$C(0) = 0$

$C(2) = 8 - 36 + 48 = 20$

$C(4) = 64 - 144 + 96 = 16$

$C(5) = 125 - 225 + 120 = 20$

El valor más alto es 20, y $\textbf{se alcanza dos veces}$: en $t=2$, que es un máximo relativo, y en $t=5$, que es el extremo derecho del intervalo. Ese es el motivo de que el enunciado pregunte por «el momento o momentos».

Como la variable está medida en cientos de kilogramos:

$\boxed{\text{Capturas máximas} = 20 \text{ cientos de kg} = 2000 \text{ kg, el día 2 y el día 5}}$

En $t=4$ hay un mínimo relativo, con 16 cientos de kilogramos, es decir, 1600 kg, que es la peor jornada de la campaña después del arranque.

$\textbf{3.1.3. Calcule la cantidad total de capturas de los cinco primeros días.}$

El total acumulado es la integral definida de la función de capturas diarias:

$\int_0^5 C(t)\,dt = \int_0^5 (t^3 - 9t^2 + 24t)\,dt = \left[\dfrac{t^4}{4} - 3t^3 + 12t^2\right]_0^5$

En el extremo superior:

$\dfrac{625}{4} - 3\cdot 125 + 12\cdot 25 = 156{,}25 - 375 + 300 = 81{,}25$

En el inferior la primitiva vale 0, así que:

$\boxed{\int_0^5 C(t)\,dt = 81{,}25 \text{ cientos de kg} = 8125 \text{ kg}}$

Durante los cinco primeros días de campaña se capturaron algo más de ocho toneladas de centolla. La media diaria sale de $81{,}25/5 = 16{,}25$ cientos de kilogramos, un valor coherente con que la función se mueva entre 0 y 20.

$\textbf{3.2. Valor de una acción: } V(t) = \dfrac{80-40t}{t^2-4t+5} + 30\textbf{, con } t \ge 0\textbf{.}$

$\textbf{3.2.1. Determine los períodos en los que el valor de la acción ha crecido y en los que ha decrecido.}$

Antes de derivar conviene mirar el denominador, porque marca el dominio:

$t^2 - 4t + 5 = (t-2)^2 + 1 \ge 1 > 0$

Nunca se anula (su discriminante es $16-20 = -4 < 0$), de modo que la función está definida y es continua para todo $t \ge 0$: no hay asíntotas verticales.

Se deriva el cociente y se deja el 30, que es constante:

$V'(t) = \dfrac{-40(t^2-4t+5) - (80-40t)(2t-4)}{(t^2-4t+5)^2}$

Se desarrolla el numerador con cuidado de los signos:

$-40(t^2-4t+5) = -40t^2 + 160t - 200$

$(80-40t)(2t-4) = 160t - 320 - 80t^2 + 160t = -80t^2 + 320t - 320$

$-40t^2+160t-200 - (-80t^2+320t-320) = 40t^2 - 160t + 120$

$V'(t) = \dfrac{40(t^2-4t+3)}{(t^2-4t+5)^2} = \dfrac{40(t-1)(t-3)}{(t^2-4t+5)^2}$

El denominador es un cuadrado y siempre es positivo, así que el signo de la derivada es el del numerador, que se anula en $t=1$ y $t=3$:



En el contexto del problema:

i) $\textbf{Durante el primer mes}$ el valor de la acción $\textbf{crece}$.

ii) $\textbf{Entre el mes 1 y el mes 3}$ el valor $\textbf{decrece}$.

iii) $\textbf{A partir del tercer mes}$ el valor vuelve a $\textbf{crecer}$, y lo hace indefinidamente.

$\textbf{3.2.2. ¿Cuál es el valor máximo que ha alcanzado la acción? ¿Y el mínimo? ¿En qué momentos?}$

Por lo anterior, en $t=1$ la derivada pasa de positiva a negativa, luego hay un máximo relativo, y en $t=3$ pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo. Se evalúan esos puntos y también el instante inicial:

$V(0) = \dfrac{80}{5} + 30 = 16 + 30 = 46$

$V(1) = \dfrac{80-40}{1-4+5} + 30 = \dfrac{40}{2} + 30 = 20 + 30 = 50$

$V(3) = \dfrac{80-120}{9-12+5} + 30 = \dfrac{-40}{2} + 30 = -20 + 30 = 10$

$\boxed{\text{Máximo: } 50 \text{ €, al mes de salir a la venta}}$

$\boxed{\text{Mínimo: } 10 \text{ €, a los tres meses}}$

Los dos son además $\textbf{absolutos}$, y merece la pena justificarlo. El máximo lo es porque el único competidor sería el comportamiento en el infinito, y allí la función tiende a 30, valor inferior a 50. El mínimo lo es porque a la izquierda del 3 la función solo toma valores mayores (arranca en 46, sube a 50 y baja hasta 10) y a la derecha vuelve a crecer.

En términos del enunciado: la acción salió a 46 €, subió hasta los 50 € el primer mes, se desplomó durante los dos siguientes hasta los 10 € y a partir de ahí empezó a recuperarse.

$\textbf{3.2.3. ¿Qué ocurrirá con el valor de la acción con el paso del tiempo?}$

Hay que estudiar el comportamiento a largo plazo, es decir, el límite en el infinito:

$\lim_{t\to+\infty} V(t) = \lim_{t\to+\infty}\left(\dfrac{80-40t}{t^2-4t+5} + 30\right)$

En la fracción el numerador es de grado 1 y el denominador de grado 2. Al ser mayor el grado del denominador, el cociente tiende a cero:

$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{80-40t}{t^2-4t+5} = 0$

$\lim_{t\to+\infty} V(t) = 0 + 30 = 30$

La recta $V = 30$ es una $\textbf{asíntota horizontal}$: con el paso del tiempo el valor de la acción $\textbf{tiende a estabilizarse en 30 €}$.

Además se acerca a ese valor $\textbf{por debajo}$, porque para $t > 2$ el numerador $80-40t$ es negativo y el denominador positivo, de modo que la fracción resta. Dicho de otro modo: tras tocar fondo en los 10 €, la acción se recupera de forma sostenida pero nunca llega a alcanzar los 30 €, solo se aproxima a ellos.