Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

PREGUNTA 2. ÁLGEBRA. (2 puntos)

Dadas las matrices

$A = \begin{pmatrix} c & d \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Responda estos dos apartados: 2.1. y 2.2.

2.1. Determine los valores de $c$ y $d$ para que $A \cdot B = B \cdot A$.

2.2. Para $c = 2$ y $d = 0$, despeje la matriz $X$ en la ecuación matricial $B \cdot X - A^t = X$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$. A continuación, calcule $X$.

$\textbf{2.1. Determine los valores de } c \textbf{ y } d \textbf{ para que } A\cdot B = B\cdot A\textbf{.}$

El producto de matrices no es conmutativo en general, así que hay que calcular los dos productos y ver qué condiciones sobre $c$ y $d$ los igualan.

$A\cdot B = \begin{pmatrix} c & d \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -d & c \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

$B\cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c & d \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -c & -d \end{pmatrix}$

Dos matrices son iguales cuando lo son todos sus elementos, uno a uno:

$\left\{\begin{array}{lcl} -d = 3 & \Rightarrow & d = -3 \\ c = 1 & \Rightarrow & c = 1 \\ -1 = -c & \Rightarrow & c = 1 \\ 3 = -d & \Rightarrow & d = -3 \end{array}\right.$

Las cuatro ecuaciones son compatibles y solo dan dos condiciones distintas, repetidas dos veces cada una:

$\boxed{c = 1, \qquad d = -3}$

Comprobación con esos valores, es decir, con $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$:

$A\cdot B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = B\cdot A$

$\textbf{2.2. Para } c=2 \textbf{ y } d=0\textbf{, despeje } X \textbf{ en } B\cdot X - A^t = X \textbf{ y calcúlela.}$

Con esos valores la matriz $A$ y su traspuesta son:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \qquad\qquad A^t = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{Despeje.}$ Se agrupan a un lado los términos que llevan $X$, teniendo cuidado de no dividir por matrices, que es una operación que no existe:

$B\cdot X - A^t = X \ \Longrightarrow\ B\cdot X - X = A^t$

Para sacar factor común $X$ por la derecha hay que escribir el segundo sumando como $I\cdot X$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2:

$B\cdot X - I\cdot X = A^t \ \Longrightarrow\ (B-I)\cdot X = A^t$

Si la matriz $B-I$ tiene inversa, se multiplican los dos miembros por ella $\textbf{por la izquierda}$, que es el lado por el que está multiplicando:

$X = (B-I)^{-1}\cdot A^t$

$\textbf{Cálculo.}$ Primero la matriz $B-I$ y su determinante:

$B - I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

$|B-I| = (-1)(-1) - (1)(-1) = 1 + 1 = 2 \ne 0$

Como no es nulo, la inversa existe. Para una matriz $2\times 2$ se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo por el determinante:

$(B-I)^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

Ya solo queda el producto:

$X = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$

Comprobación en la ecuación de partida:

$B\cdot X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$B\cdot X - A^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = X$