Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 4. GEOMETRÍA. (2 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

4.1. Considere la recta $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z}{3}$.

4.1.1. Calcule la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ y al punto $Q(2,-1,1)$.

4.1.2. Compruebe que la recta $r$ es paralela al plano $\pi^*: x + y - z - 1 = 0$. Calcule la distancia de $r$ a $\pi^*$.

4.2. Considere el punto $P(3,0,-1)$.

4.2.1. Calcule el punto $P'$ simétrico de $P$ con respecto al punto $Q(2,-1,2)$.

4.2.2. Calcule el punto $P''$ simétrico de $P$ con respecto al plano $\pi: x + 2y + z - 8 = 0$.

Se resuelven los dos apartados, aunque el examen solo pide uno.

$\textbf{4.1.1. Calcule la ecuación general del plano } \pi \textbf{ que contiene a la recta } r \textbf{ y al punto } Q(2,-1,1)\textbf{.}$

De la ecuación continua de la recta se leen directamente un punto y un vector director:

$r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z}{3} \ \Longrightarrow\ P(1,1,0), \quad \vec v = (2,1,3)$

El plano buscado contiene la recta, luego contiene el punto $P$ y la dirección $\vec v$; y contiene además el punto $Q$, luego contiene también la dirección $\overrightarrow{PQ}$:

$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (2-1,\,-1-1,\,1-0) = (1,-2,1)$

Como los dos vectores no son proporcionales, determinan el plano. Un vector normal es su producto vectorial:

$\vec n = \vec v \times \overrightarrow{PQ} = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec n = \vec\imath\,(1\cdot 1 - 3\cdot(-2)) - \vec\jmath\,(2\cdot 1 - 3\cdot 1) + \vec k\,(2\cdot(-2) - 1\cdot 1)$

$\vec n = (7,\,1,\,-5)$

Con el vector normal y el punto $P(1,1,0)$ se escribe la ecuación general:

$7(x-1) + 1(y-1) - 5(z-0) = 0$

$\boxed{\pi: 7x + y - 5z - 8 = 0}$

Comprobación: $P(1,1,0)$ da $7+1-0-8 = 0$ y $Q(2,-1,1)$ da $14-1-5-8 = 0$. Los dos puntos están en el plano.

También puede plantearse directamente con el determinante que expresa que los tres vectores son coplanarios, y sale lo mismo:

$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$

$\textbf{4.1.2. Compruebe que } r \textbf{ es paralela al plano } \pi^*: x+y-z-1=0 \textbf{ y calcule la distancia de } r \textbf{ a } \pi^*\textbf{.}$

La recta es paralela al plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal del plano, es decir, cuando el producto escalar de ambos se anula. El normal de $\pi^*$ es $\vec n^* = (1,1,-1)$:

$\vec v \cdot \vec n^* = (2,1,3)\cdot(1,1,-1) = 2 + 1 - 3 = 0$

Se anula, así que la recta o es paralela al plano o está contenida en él. Para distinguir los dos casos se comprueba si el punto $P(1,1,0)$ de la recta pertenece al plano:

$1 + 1 - 0 - 1 = 1 \ne 0$

No pertenece, luego la recta $\textbf{es paralela}$ al plano y no lo corta.

Al ser paralelos, todos los puntos de la recta están a la misma distancia del plano, de modo que basta calcular la distancia de uno cualquiera de ellos, por ejemplo del propio $P$:

$d(r,\pi^*) = d(P,\pi^*) = \dfrac{|1\cdot 1 + 1\cdot 1 - 1\cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} = \dfrac{|1|}{\sqrt3}$

$\boxed{d(r,\pi^*) = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3} \approx 0{,}577\ \text{u}}$

$\textbf{4.2.1. Calcule el punto } P' \textbf{ simétrico de } P(3,0,-1) \textbf{ con respecto al punto } Q(2,-1,2)\textbf{.}$

El simétrico respecto de un punto es el más sencillo de los tres tipos de simetría: $Q$ tiene que ser el punto medio del segmento que une $P$ con $P'$.

$Q = \dfrac{P+P'}{2} \ \Longrightarrow\ P' = 2Q - P$

$P' = 2(2,-1,2) - (3,0,-1) = (4,-2,4) - (3,0,-1)$

$\boxed{P'(1,-2,5)}$

Comprobación: el punto medio de $P(3,0,-1)$ y $P'(1,-2,5)$ es $\left(\dfrac{3+1}{2},\dfrac{0-2}{2},\dfrac{-1+5}{2}\right) = (2,-1,2) = Q$.

$\textbf{4.2.2. Calcule el punto } P'' \textbf{ simétrico de } P \textbf{ con respecto al plano } \pi: x+2y+z-8=0\textbf{.}$

Aquí el procedimiento tiene tres pasos: se traza por $P$ la recta perpendicular al plano, se halla el pie de esa perpendicular y se usa que el pie es el punto medio entre $P$ y su simétrico.

$\textbf{i) Recta perpendicular.}$ Su vector director es el normal del plano, $\vec n = (1,2,1)$:

$s: (x,y,z) = (3,0,-1) + t(1,2,1) \ \Longrightarrow\ \left\{\begin{array}{l} x = 3+t \\ y = 2t \\ z = -1+t \end{array}\right.$

$\textbf{ii) Pie de la perpendicular.}$ Se sustituyen las paramétricas en la ecuación del plano:

$(3+t) + 2(2t) + (-1+t) - 8 = 0$

$3 + t + 4t - 1 + t - 8 = 0 \ \Longrightarrow\ 6t - 6 = 0 \ \Longrightarrow\ t = 1$

$M = (3+1,\,2\cdot 1,\,-1+1) = (4,2,0)$

Se comprueba que $M$ está en el plano: $4 + 4 + 0 - 8 = 0$.

$\textbf{iii) Simétrico.}$ El pie $M$ es el punto medio de $P$ y $P''$:

$P'' = 2M - P = (8,4,0) - (3,0,-1)$

$\boxed{P''(5,4,1)}$

Comprobación: el punto medio de $P(3,0,-1)$ y $P''(5,4,1)$ es $(4,2,0) = M$, que efectivamente pertenece al plano, y el vector $\overrightarrow{PP''} = (2,4,2) = 2(1,2,1)$ es proporcional al normal, como tiene que ser en una simetría especular.