Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Extremadura · 2025

En una cuerda tensa se propaga una onda armónica en la dirección del eje X. La ecuación de la onda viene dada por: $y = 0{,}05 \operatorname{sen}(2\pi x - 4\pi t)$, donde $y$ está en metros, $x$ en metros y $t$ en segundos.

a) Determina la amplitud, el número de onda y la frecuencia angular de la onda. [0,5 puntos]

b) Calcula la frecuencia y la longitud de onda. [0,5 puntos]

c) Halla la velocidad de propagación de la onda y especifica su sentido de propagación. [0,5 puntos]

d) Calcula la elongación de un punto de la cuerda que se encuentra en el punto $x = 2$ m en el instante $t = 1$ s. [0,5 puntos]

e) Halla la velocidad de oscilación transversal de dicho punto $x = 2$ m en el instante $t = 1$ s. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determina la amplitud, el número de onda y la frecuencia angular de la onda. [0,5 puntos]}$



Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que se propaga por una cuerda:

$y(x,t)=A\,\operatorname{sen}(k\,x-\omega t)$

Identificando término a término:

$A=0{,}05\ \text{m}$

$k=2\pi\ \text{rad/m}$

$\omega=4\pi\ \text{rad/s}$

La amplitud es de $0{,}05\ \text{m}$, el número de onda vale $2\pi\ \text{rad/m}$ y la frecuencia angular, $4\pi\ \text{rad/s}$.

$\textbf{b) Calcula la frecuencia y la longitud de onda. [0,5 puntos]}$

La frecuencia angular y el número de onda son las dos periodicidades de la onda, la temporal y la espacial:

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{4\pi}{2\pi}$

$f=2\ \text{Hz}$

$\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{2\pi}$

$\lambda=1\ \text{m}$

Cada punto de la cuerda completa dos oscilaciones por segundo, y la perturbación se repite cada metro.

$\textbf{c) Halla la velocidad de propagación de la onda y especifica su sentido de propagación. [0,5 puntos]}$

La velocidad con que avanza la perturbación es:

$v=\lambda\,f=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{4\pi}{2\pi}$

$v=2\ \text{m/s}$

En cuanto al sentido, la fase se escribe $kx-\omega t$, con los dos términos de signo contrario. Para que un punto conserve su estado de vibración, al aumentar $t$ debe aumentar también $x$:

$kx-\omega t=\text{cte}\;\Rightarrow\;x=\dfrac{\omega}{k}\,t+\text{cte}$

La onda se propaga a $2\ \text{m/s}$ en el sentido positivo del eje X.

$\textbf{d) Calcula la elongación de un punto de la cuerda que se encuentra en el punto } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ m en el instante } \boldsymbol{t = 1}\textbf{ s. [0,5 puntos]}$

Basta sustituir los dos valores en la ecuación de la onda:

$y(2,1)=0{,}05\,\operatorname{sen}(2\pi\cdot2-4\pi\cdot1)=0{,}05\,\operatorname{sen}(4\pi-4\pi)$

$y(2,1)=0\ \text{m}$

En ese instante el punto pasa por la posición de equilibrio. No quiere decir que esté en reposo: es justo donde la velocidad de vibración es máxima.

$\textbf{e) Halla la velocidad de oscilación transversal de dicho punto } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ m en el instante } \boldsymbol{t = 1}\textbf{ s. [0,5 puntos]}$

La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto del tiempo, manteniendo fija la posición del punto:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-A\,\omega\cos(kx-\omega t)$

$v_y=-0{,}05\cdot4\pi\cos(4\pi-4\pi)=-0{,}2\pi\cdot1$

$v_y=-0{,}63\ \text{m/s}$

El punto se mueve a $0{,}63\ \text{m/s}$ en sentido negativo del eje Y. Como se anticipaba en el apartado anterior, el módulo coincide con la velocidad máxima de vibración, $A\,\omega$, porque el punto está pasando por el equilibrio. No debe confundirse con la velocidad de propagación, $2\ \text{m/s}$: esta última es la de la perturbación a lo largo de la cuerda, no la de la materia.