Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

La Estrella de la Muerte es una estación espacial ficticia dentro del universo de Star Wars, que ha aparecido a lo largo de la saga hasta en cinco ocasiones, la última en «Rogue One: una historia de Star Wars», donde se muestra como el arma más poderosa del Imperio Galáctico, capaz de destruir planetas por completo.

Se puede hacer una estimación del tamaño de la Estrella de la Muerte comparando distintos fotogramas a lo largo de las diferentes películas llegando a la conclusión de que tendrá un diámetro de 900 km y un valor de la gravedad igual a 2/3 la de la Tierra. Con estos valores:

a) Determina la masa para la Estrella de la Muerte. [0,75 puntos]

b) Han Solo, uno de los protagonistas de la saga de Star Wars, tripula la nave llamada Halcón Milenario. Calcula el valor de la fuerza de atracción gravitatoria sobre dicha nave si está situada a una distancia de 250 km de la superficie de la Estrella de la Muerte ($m_{Halc\acute{o}nMilenario} = 500$ kg). [0,75 puntos]

c) ¿Qué velocidad necesitaría aplicar Han Solo a su nave para escapar de la atracción gravitatoria de la Estrella de la Muerte si estuviera en su superficie? [0,5 puntos]

d) Si ahora imaginamos que la Estrella de la Muerte está situada en el lugar de nuestra Luna, calcula el trabajo que habría que realizar para llevarla al infinito y que no nos destruya. [0,5 puntos]

Datos: constante de gravitación universal: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$; masa de la Tierra: $M_T = 5{,}98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra: $R_T = 6370\ \text{km}$; distancia Tierra-Luna: $d_{T\text{-}L} = 384400\ \text{km}$.

$\textbf{a) Determina la masa para la Estrella de la Muerte. [0,75 puntos]}$










La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un cuerpo esférico vale:

$g=G\,\dfrac{M}{R^{2}}$

Se calcula primero la gravedad terrestre, para saber cuánto valen esos dos tercios:





$g_T=G\,\dfrac{M_T}{R_T^{2}}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{5{,}98\cdot10^{24}}{\left(6{,}37\cdot10^{6}\right)^{2}}=9{,}83\ \text{m/s}^{2}$

$g=\dfrac23\,g_T=6{,}55\ \text{m/s}^{2}$

El radio es la mitad del diámetro que da el enunciado:

$R=\dfrac{900}{2}=450\ \text{km}=4{,}5\cdot10^{5}\ \text{m}$

Y despejando la masa:

$M=\dfrac{g\,R^{2}}{G}=\dfrac{6{,}55\cdot\left(4{,}5\cdot10^{5}\right)^{2}}{6{,}67\cdot10^{-11}}$

$M=1{,}99\cdot10^{22}\ \text{kg}$

La Estrella de la Muerte tendría una masa de $1{,}99\cdot10^{22}\ \text{kg}$, aproximadamente la cuarta parte de la masa de la Luna concentrada en una esfera 4 veces más pequeña.

$\textbf{b) Han Solo, uno de los protagonistas de la saga de Star Wars, tripula la nave llamada Halcón Milenario. Calcula el valor de la fuerza de atracción gravitatoria sobre dicha nave si está situada a una distancia de 250 km de la superficie de la Estrella de la Muerte (} \boldsymbol{m_{Halc\acute{o}nMilenario} = 500}\textbf{ kg). [0,75 puntos]}$

Se aplica la ley de gravitación universal, teniendo en cuenta que la distancia que interviene es la que separa la nave del centro de la Estrella de la Muerte:

$r=R+h=450+250=700\ \text{km}=7{,}0\cdot10^{5}\ \text{m}$

$F=G\,\dfrac{M\,m}{r^{2}}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{1{,}99\cdot10^{22}\cdot500}{\left(7{,}0\cdot10^{5}\right)^{2}}$

$F=1{,}35\cdot10^{3}\ \text{N}$

El Halcón Milenario es atraído con una fuerza de $1{,}35\cdot10^{3}\ \text{N}$, dirigida hacia el centro de la estación.

$\textbf{c) ¿Qué velocidad necesitaría aplicar Han Solo a su nave para escapar de la atracción gravitatoria de la Estrella de la Muerte si estuviera en su superficie? [0,5 puntos]}$

La velocidad de escape es la mínima necesaria para llegar al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva y en el infinito es nula:

$\dfrac12\,m\,v_e^{2}-G\,\dfrac{M\,m}{R}=0\;\Rightarrow\;v_e=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}$

$v_e=\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}99\cdot10^{22}}{4{,}5\cdot10^{5}}}$

$v_e=2{,}43\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Han Solo necesitaría alcanzar $2{,}43\ \text{km/s}$, una quinta parte de la velocidad de escape terrestre. La velocidad de escape no depende de la masa de la nave, sino solo de la masa y el radio del cuerpo del que se escapa.

$\textbf{d) Si ahora imaginamos que la Estrella de la Muerte está situada en el lugar de nuestra Luna, calcula el trabajo que habría que realizar para llevarla al infinito y que no nos destruya. [0,5 puntos]}$

Ahora quien atrae es la Tierra, y el cuerpo que se quiere alejar es la propia Estrella de la Muerte, situada a la distancia Tierra-Luna. El trabajo que hay que realizar desde fuera es la variación de energía potencial hasta el infinito, donde es nula:

$W_{\text{ext}}=0-E_p=G\,\dfrac{M_T\,M}{d_{T\text{-}L}}$

$d_{T\text{-}L}=384400\ \text{km}=3{,}844\cdot10^{8}\ \text{m}$

$W_{\text{ext}}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{5{,}98\cdot10^{24}\cdot1{,}99\cdot10^{22}}{3{,}844\cdot10^{8}}$

$W_{\text{ext}}=2{,}06\cdot10^{28}\ \text{J}$

Harían falta $2{,}06\cdot10^{28}\ \text{J}$ para alejarla indefinidamente, unas cien mil veces la energía que consume la humanidad en un año. El signo positivo indica que hay que aportar esa energía: la Tierra tira de ella y se opone a que se marche.