Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2025

a) Un electrón es acelerado desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 150 V. ¿Qué velocidad máxima alcanza en estas condiciones? Si no has conseguido resolver esta cuestión, toma, para las siguientes cuestiones de esta pregunta el valor de velocidad $v = 7200$ km/s. [0,75 puntos]

b) Una vez alcanzada dicha velocidad, el electrón entra en una región en la que hay un campo eléctrico y un campo magnético constantes, mutuamente perpendiculares a la trayectoria del electrón. La magnitud del campo eléctrico es de $6 \cdot 10^{6}$ N/C. ¿Cuál es la intensidad del campo magnético, en unidades del Sistema Internacional, necesaria para que el electrón atraviese esa región sin modificar su trayectoria? [1 punto]

c) Si fuera un protón el que entrase en la región de campos eléctrico y magnético de la cuestión b), razona cómo se modificaría la intensidad del campo magnético para que el protón atravesase esa región sin cambiar su trayectoria. Ten en cuenta que un protón tiene una masa unas 1395 veces la de un electrón. [0,75 puntos]

Datos: valor de la carga del electrón: $q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón: $m = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Un electrón es acelerado desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 150 V. ¿Qué velocidad máxima alcanza en estas condiciones? Si no has conseguido resolver esta cuestión, toma, para las siguientes cuestiones de esta pregunta el valor de velocidad } \boldsymbol{v = 7200}\textbf{ km/s. [0,75 puntos]}$



El campo eléctrico es conservativo: el trabajo que realiza sobre el electrón al acelerarlo se convierte íntegramente en energía cinética, ya que parte del reposo.

$|q|\,\Delta V=\dfrac12\,m\,v^{2}\;\Rightarrow\;v=\sqrt{\dfrac{2\,|q|\,\Delta V}{m}}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot150}{9{,}1\cdot10^{-31}}}$

$v=7{,}26\cdot10^{6}\ \text{m/s}$

El electrón alcanza una velocidad de $7{,}26\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, es decir, $7260\ \text{km/s}$, que confirma el valor aproximado que ofrece el enunciado. Es un 2,4 % de la velocidad de la luz, lo bastante poco como para no tener que recurrir a la mecánica relativista.

$\textbf{b) Una vez alcanzada dicha velocidad, el electrón entra en una región en la que hay un campo eléctrico y un campo magnético constantes, mutuamente perpendiculares a la trayectoria del electrón. La magnitud del campo eléctrico es de } \boldsymbol{6 \cdot 10^{6}}\textbf{ N/C. ¿Cuál es la intensidad del campo magnético, en unidades del Sistema Internacional, necesaria para que el electrón atraviese esa región sin modificar su trayectoria? [1 punto]}$

Que el electrón no modifique su trayectoria significa que la fuerza total que actúa sobre él es nula. Sobre una carga en movimiento dentro de campos eléctrico y magnético actúa la fuerza de Lorentz:

$\vec F=q\,\vec E+q\left(\vec v\times\vec B\right)=\vec 0$

Como los tres vectores son perpendiculares entre sí, los módulos de las dos fuerzas deben ser iguales:

$|q|\,E=|q|\,v\,B\;\Rightarrow\;B=\dfrac{E}{v}$

$B=\dfrac{6\cdot10^{6}}{7{,}26\cdot10^{6}}$

$B=0{,}83\ \text{T}$

Hace falta un campo magnético de $0{,}83\ \text{T}$, perpendicular a la vez a la velocidad y al campo eléctrico, y orientado de modo que la fuerza magnética compense a la eléctrica.

$\textbf{c) Si fuera un protón el que entrase en la región de campos eléctrico y magnético de la cuestión b), razona cómo se modificaría la intensidad del campo magnético para que el protón atravesase esa región sin cambiar su trayectoria. Ten en cuenta que un protón tiene una masa unas 1395 veces la de un electrón. [0,75 puntos]}$

Conviene separar dos cosas que el enunciado encadena.

i) La condición de equilibrio, $B=E/v$, no contiene ni la carga ni la masa: se simplifican al igualar las dos fuerzas. Que la partícula sea un protón en vez de un electrón cambia el signo de las dos fuerzas a la vez, así que siguen compensándose. Si el protón entrase con la misma velocidad, el campo magnético no habría que tocarlo.

ii) Ahora bien, el protón llega a la región tras ser acelerado por la misma diferencia de potencial, y ahí sí interviene la masa:

$v_p=\sqrt{\dfrac{2\,|q|\,\Delta V}{1395\,m_e}}=\dfrac{v}{\sqrt{1395}}$

$v_p=\dfrac{7{,}26\cdot10^{6}}{37{,}35}=1{,}94\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

Al ser mucho más lento, la fuerza magnética que recibe es mucho menor, y para compensar la misma fuerza eléctrica hace falta un campo mayor:

$B_p=\dfrac{E}{v_p}=\dfrac{6\cdot10^{6}}{1{,}94\cdot10^{5}}$

$B_p=30{,}9\ \text{T}$

Habría que aumentar el campo magnético en un factor $\sqrt{1395}=37{,}4$, hasta unos $30{,}9\ \text{T}$. En resumen: la condición no depende de la carga ni de la masa, pero sí de la velocidad, y es la masa del protón la que hace que su velocidad sea casi cuarenta veces menor.