Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Dos estudiantes de segundo de bachillerato de Extremadura, Iván y Laia, han sido seleccionados por la agencia espacial europea (ESA) para realizar una misión cerca de la estación espacial internacional (ISS). La misión consiste en recoger un trozo de basura espacial de 20 kg de masa que puede impactar con la estación ISS y dañarla. En un momento dado, el trozo de basura se sitúa entre ellos a 3 metros de Laia y 9 metros de Iván. Suponiendo que cada estudiante tiene una masa, incluido su traje espacial, de 120 kg:

a) Calcula el valor de la intensidad de campo gravitatorio, debido a los dos estudiantes, en el punto donde se encuentra el trozo de basura. ¿Hacia dónde está dirigido dicho campo? [1 punto]

b) Teniendo en cuenta exclusivamente la interacción gravitatoria de los dos estudiantes sobre el trozo de basura, determina el trabajo que hay que realizar para trasladarlo desde su posición actual hasta una posición muy alejada, fuera del campo gravitatorio. [0,75 puntos]

c) Tras cumplir con éxito esta primera misión, los estudiantes se dirigen hacia la Luna. Iván se queda en la nave espacial, mientras que Laia desciende a la superficie lunar. Halla el peso de Laia (incluido su traje espacial) en la superficie de la Luna. [0,75 puntos]

Datos: constante de gravitación universal: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$; masa de la Luna: $M_L = 7{,}34 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$; radio de la Luna: $R_L = 1740\ \text{km}$.

$\textbf{a) Calcula el valor de la intensidad de campo gravitatorio, debido a los dos estudiantes, en el punto donde se encuentra el trozo de basura. ¿Hacia dónde está dirigido dicho campo? [1 punto]}$



El campo gravitatorio creado por una masa puntual apunta siempre hacia ella y vale:

$g=G\,\dfrac{M}{r^{2}}$

Como la basura está entre los dos estudiantes, los dos campos tienen la misma dirección —la recta que los une— y sentidos opuestos:

$g_L=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{120}{3^{2}}=8{,}89\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}$

$g_I=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{120}{9^{2}}=9{,}88\cdot10^{-11}\ \text{N/kg}$

Por el principio de superposición, el campo total es la resta de los dos módulos:

$g=g_L-g_I=8{,}89\cdot10^{-10}-9{,}88\cdot10^{-11}$

$g=7{,}91\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}$

El campo en el punto donde está la basura vale $7{,}91\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}$ y está dirigido hacia Laia, que es la que se encuentra más cerca: aunque las dos masas son iguales, el campo va con el inverso del cuadrado de la distancia y el de Laia es nueve veces mayor que el de Iván.

$\textbf{b) Teniendo en cuenta exclusivamente la interacción gravitatoria de los dos estudiantes sobre el trozo de basura, determina el trabajo que hay que realizar para trasladarlo desde su posición actual hasta una posición muy alejada, fuera del campo gravitatorio. [0,75 puntos]}$

El campo gravitatorio es conservativo, de modo que el trabajo que hay que realizar desde fuera coincide con la variación de energía potencial, y en el infinito la energía potencial es nula:

$W_{\text{ext}}=\Delta E_p=E_p(\infty)-E_p=0-m\,V$

El potencial es escalar, así que basta sumar el de cada estudiante:

$V=-G\,\dfrac{M}{r_L}-G\,\dfrac{M}{r_I}=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot120\left(\dfrac13+\dfrac19\right)$

$V=-3{,}56\cdot10^{-9}\ \text{J/kg}$

$E_p=m\,V=20\cdot\left(-3{,}56\cdot10^{-9}\right)=-7{,}11\cdot10^{-8}\ \text{J}$

$W_{\text{ext}}=7{,}11\cdot10^{-8}\ \text{J}$

Hay que realizar un trabajo de $7{,}11\cdot10^{-8}\ \text{J}$, positivo porque el campo se opone a que la basura se aleje. Es una cantidad ridícula, del orden de la diezmillonésima de julio: la gravedad entre cuerpos de unos pocos cientos de kilogramos es prácticamente inapreciable.

$\textbf{c) Tras cumplir con éxito esta primera misión, los estudiantes se dirigen hacia la Luna. Iván se queda en la nave espacial, mientras que Laia desciende a la superficie lunar. Halla el peso de Laia (incluido su traje espacial) en la superficie de la Luna. [0,75 puntos]}$

El peso es la fuerza con que la Luna atrae a Laia, es decir, el producto de su masa por la intensidad del campo gravitatorio lunar en la superficie:

$g_L=G\,\dfrac{M_L}{R_L^{2}}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{7{,}34\cdot10^{22}}{\left(1{,}74\cdot10^{6}\right)^{2}}$

$g_L=1{,}62\ \text{m/s}^{2}$

$P=m\,g_L=120\cdot1{,}62$

$P=194\ \text{N}$

Laia pesa $194\ \text{N}$ en la superficie de la Luna, alrededor de la sexta parte de lo que pesaría en la Tierra, donde su peso sería de unos 1180 N.