Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

EJERCICIO 4. Análisis.
Considérese la siguiente función:
$f(x) = ax^3 - 2x^2 + bx + c$
donde $a, b, c$ son números reales.

a) Calcular $a, b, c$ sabiendo que la función $f(x)$ pasa por (2,8) y que tiene un extremo relativo en (0,16).
b) Para $a = b = 0$ y $c = 16$, calcule el área de la región limitada por la función $f(x)$ y la recta $y = 8$.

$\textbf{a) Calcular } \boldsymbol{a, b, c}\textbf{ sabiendo que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ pasa por (2,8) y que tiene un extremo relativo en (0,16).}$

Cada condición del enunciado se traduce en una ecuación. Que haya un extremo relativo en $(0,16)$ obliga a que la función pase por ese punto y a que su derivada se anule allí.

$f(0) = 16 \Rightarrow c = 16$

$f'(x) = 3ax^2 - 4x + b \Rightarrow f'(0) = b = 0$

Con la condición de que pase por $(2,8)$:

$f(2) = 8a - 8 + 2b + c = 8 \Rightarrow 8a - 8 + 0 + 16 = 8 \Rightarrow 8a = 0 \Rightarrow a = 0$

Los valores buscados son $a = 0$, $b = 0$ y $c = 16$, de modo que la función es la parábola $f(x) = -2x^2 + 16$, que efectivamente tiene su vértice en $(0,16)$ y pasa por $(2,8)$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = b = 0}\textbf{ y } \boldsymbol{c = 16}\textbf{, calcule el área de la región limitada por la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{y = 8}\textbf{.}$

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte entre la parábola y la recta.

$-2x^2 + 16 = 8 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

Entre $-2$ y $2$ la parábola queda por encima de la recta, así que se integra la diferencia en ese orden.

$\text{Área} = \int_{-2}^{2}\left[(-2x^2+16) - 8\right]dx = \int_{-2}^{2}(8 - 2x^2)\,dx$

$= \left[8x - \dfrac{2x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(16 - \dfrac{16}{3}\right) - \left(-16 + \dfrac{16}{3}\right) = 32 - \dfrac{32}{3} = \dfrac{64}{3}$



El área de la región limitada por la parábola y la recta $y = 8$ es de $\frac{64}{3} \approx 21{,}33$ unidades de área.