Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2026

En un servicio de medicina nuclear se administra a un paciente un radiofármaco que contiene un isótopo radiactivo. La gráfica adjunta recoge la evolución del número de núclidos del radiofármaco.



a) A partir de la gráfica, indica el número inicial de núclidos del radiofármaco, justificando adecuadamente tu respuesta. [0,25 puntos]

b) A partir de la gráfica, halla el valor de la constante de desintegración radiactiva, justificando adecuadamente tu respuesta. [1 punto]

c) Calcula la actividad inicial del radiofármaco en MBq. [0,5 puntos]

d) Si la actividad mínima detectable por el equipo es de 1 MBq, ¿cuántos días después de la administración dejará de ser detectable el radiofármaco? [0,75 puntos]

$\textbf{a) A partir de la gráfica, indica el número inicial de núclidos del radiofármaco, justificando adecuadamente tu respuesta. [0,25 puntos]}$

El número inicial de núclidos es la ordenada de la curva en el instante en que se administra el radiofármaco, es decir, en $t=0$. Leyendo ahí la gráfica, y teniendo en cuenta que el eje está graduado en unidades de $10^{12}$ núclidos:

$N_0=10\cdot10^{12}=1{,}0\cdot10^{13}\ \text{núcleos}$

$\textbf{b) A partir de la gráfica, halla el valor de la constante de desintegración radiactiva, justificando adecuadamente tu respuesta. [1 punto]}$

La ley de desintegración radiactiva es exponencial:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

Lo más cómodo es leer en la gráfica el periodo de semidesintegración, que es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad. La curva pasa de $10\cdot10^{12}$ núclidos a $5\cdot10^{12}$ al cabo de 10 días, y vuelve a partirse por la mitad, hasta $2{,}5\cdot10^{12}$, en los 10 días siguientes:

$T_{1/2}=10\ \text{días}$

Y la constante de desintegración se obtiene imponiendo $N=N_0/2$ en la ley anterior:

$\dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}\;\Rightarrow\;\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{\ln 2}{10}$

$\lambda=6{,}93\cdot10^{-2}\ \text{días}^{-1}$

La constante de desintegración vale $6{,}93\cdot10^{-2}\ \text{días}^{-1}$, es decir, cada día se desintegra en torno al 7 % de los núcleos que quedan.

$\textbf{c) Calcula la actividad inicial del radiofármaco en MBq. [0,5 puntos]}$

La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo y vale $A=\lambda N$. Como el becquerel es una desintegración por segundo, la constante hay que pasarla a segundos:

$\lambda=\dfrac{6{,}93\cdot10^{-2}}{86400}=8{,}02\cdot10^{-7}\ \text{s}^{-1}$

$A_0=\lambda\,N_0=8{,}02\cdot10^{-7}\cdot1{,}0\cdot10^{13}$

$A_0=8{,}02\cdot10^{6}\ \text{Bq}$

Y en las unidades que pide el enunciado:

$A_0=8{,}02\ \text{MBq}$

La actividad inicial del radiofármaco es de $8{,}02\ \text{MBq}$, un valor del orden de los que se emplean en medicina nuclear diagnóstica.

$\textbf{d) Si la actividad mínima detectable por el equipo es de 1 MBq, ¿cuántos días después de la administración dejará de ser detectable el radiofármaco? [0,75 puntos]}$

La actividad decae con la misma exponencial que el número de núcleos, porque es proporcional a él:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}$

Se impone que la actividad baje hasta $1\ \text{MBq}$ y se despeja el tiempo tomando logaritmos:

$1=8{,}02\,e^{-\lambda t}\;\Rightarrow\;t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{8{,}02}{1}=\dfrac{\ln 8{,}02}{6{,}93\cdot10^{-2}}$

$t=30{,}0\ \text{días}$

El radiofármaco deja de ser detectable unos $30\ \text{días}$ después de administrarlo. El resultado se ve venir en la gráfica: 30 días son tres periodos de semidesintegración, y al cabo de ellos la actividad se ha dividido por ocho.