Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2026

En la entrada de un edificio se instala una puerta automática que se abre cuando una célula fotoeléctrica deja de recibir luz. La célula está formada por un fotocátodo metálico y un ánodo. Cuando la luz incide sobre el fotocátodo, se produce efecto fotoeléctrico y circula corriente; cuando algo interrumpe el haz de luz, la corriente cae a cero y la puerta se abre. La célula se ilumina con una lámpara que emite luz casi monocromática de longitud de onda $\lambda = 400$ nm. El trabajo de extracción del metal del fotocátodo es $\phi = 2{,}0$ eV.

a) Calcula la energía de cada fotón de la luz incidente (en eV y en J). [0,5 puntos]

b) Determina la energía cinética máxima de los electrones emitidos (en eV y en J). [0,5 puntos]

c) Calcula el potencial de frenado necesario para anular la corriente fotoeléctrica. [0,5 puntos]

d) ¿Cuál sería la longitud de onda máxima con la que funcionaría la puerta, manteniendo la misma intensidad en la lámpara? Razona la respuesta. [1 punto]

$\textbf{a) Calcula la energía de cada fotón de la luz incidente (en eV y en J). [0,5 puntos]}$



Según la hipótesis de Planck, la luz transporta la energía en cuantos cuyo valor depende solo de la frecuencia:

$E=h\,f=h\,\dfrac{c}{\lambda}$

$E=6{,}63\cdot10^{-34}\cdot\dfrac{3\cdot10^{8}}{400\cdot10^{-9}}$

$E=4{,}97\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y expresada en electronvoltios:

$E=\dfrac{4{,}97\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=3{,}11\ \text{eV}$

Cada fotón de la lámpara transporta $4{,}97\cdot10^{-19}\ \text{J}$, es decir, $3{,}11\ \text{eV}$, más que los 2,0 eV que cuesta arrancar un electrón: la célula funciona.

$\textbf{b) Determina la energía cinética máxima de los electrones emitidos (en eV y en J). [0,5 puntos]}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón:

$h\,f=\phi+E_{c,\max}\;\Rightarrow\;E_{c,\max}=h\,f-\phi$

$E_{c,\max}=3{,}11-2{,}0$

$E_{c,\max}=1{,}11\ \text{eV}$

Y en unidades del Sistema Internacional:

$E_{c,\max}=1{,}11\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=1{,}77\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Los electrones más rápidos salen del fotocátodo con $1{,}11\ \text{eV}$, o sea $1{,}77\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

$\textbf{c) Calcula el potencial de frenado necesario para anular la corriente fotoeléctrica. [0,5 puntos]}$

El potencial de frenado es el que hay que aplicar entre el ánodo y el fotocátodo para que ni siquiera los electrones más energéticos lleguen al otro electrodo. El trabajo eléctrico que los detiene iguala a su energía cinética máxima:

$|e|\,V_f=E_{c,\max}\;\Rightarrow\;V_f=\dfrac{E_{c,\max}}{|e|}$

$V_f=\dfrac{1{,}77\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}$

$V_f=1{,}11\ \text{V}$

Basta un potencial de frenado de $1{,}11\ \text{V}$ para cortar la corriente. Numéricamente coincide con la energía cinética máxima expresada en electronvoltios, y no es casualidad: esa es la definición del electronvoltio.

$\textbf{d) ¿Cuál sería la longitud de onda máxima con la que funcionaría la puerta, manteniendo la misma intensidad en la lámpara? Razona la respuesta. [1 punto]}$

Para que haya efecto fotoeléctrico cada fotón debe traer al menos la energía del trabajo de extracción. La longitud de onda máxima corresponde al caso límite, en el que el electrón sale con energía cinética nula:

$h\,\dfrac{c}{\lambda_{\max}}=\phi\;\Rightarrow\;\lambda_{\max}=\dfrac{h\,c}{\phi}$

$\phi=2{,}0\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=3{,}2\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$\lambda_{\max}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{3{,}2\cdot10^{-19}}$

$\lambda_{\max}=6{,}22\cdot10^{-7}\ \text{m}=622\ \text{nm}$

La puerta seguiría funcionando con luz de hasta $622\ \text{nm}$, ya en el rojo. Con longitudes de onda mayores no habría emisión por muy intensa que fuese la lámpara: aumentar la intensidad significa enviar más fotones por segundo, no fotones más energéticos, y la energía de cada uno es lo único que decide si arranca o no un electrón.