Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Extremadura · 2026

Una cuerda tensa vibra de acuerdo con la siguiente ecuación de onda estacionaria (expresada en unidades del Sistema Internacional): $y(x,t) = 0{,}04 \cdot \operatorname{sen}(5\pi x)\ \cos(40\pi t)$. Calcula razonadamente:

a) La amplitud, la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de propagación de las dos ondas viajeras cuya superposición da lugar a este movimiento. [1 punto]

b) La distancia entre dos nodos consecutivos. [0,5 puntos]

c) La velocidad máxima con la que vibra un punto situado a 0,25 m del origen. [1 punto]

$\textbf{a) La amplitud, la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de propagación de las dos ondas viajeras cuya superposición da lugar a este movimiento. [1 punto]}$










Una onda estacionaria nace de la superposición de dos ondas viajeras iguales que se propagan en sentidos opuestos, y su ecuación adopta la forma:

$y(x,t)=2A\,\operatorname{sen}(k\,x)\cos(\omega t)$

Los puntos que no vibran nunca son los nodos, y la envolvente marca la amplitud máxima, que alcanzan los vientres.





Comparándola término a término con la del enunciado:

$2A=0{,}04\ \text{m}\;\Rightarrow\;A=0{,}02\ \text{m}$

$k=5\pi\ \text{rad/m}\;\Rightarrow\;\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{5\pi}=0{,}40\ \text{m}$

$\omega=40\pi\ \text{rad/s}\;\Rightarrow\;f=\dfrac{\omega}{2\pi}=20\ \text{Hz}$

$v=\lambda\,f=0{,}40\cdot20=8{,}0\ \text{m/s}$

Cada una de las dos ondas viajeras tiene una amplitud de $0{,}02\ \text{m}$, una longitud de onda de $0{,}40\ \text{m}$ y una frecuencia de $20\ \text{Hz}$, y se propaga por la cuerda a $8{,}0\ \text{m/s}$. Conviene notar que la amplitud de cada viajera es la mitad de la que alcanzan los vientres de la estacionaria.

$\textbf{b) La distancia entre dos nodos consecutivos. [0,5 puntos]}$

Los nodos son los puntos que no vibran nunca, es decir, aquellos en los que se anula el factor espacial:

$\operatorname{sen}(5\pi x)=0\;\Rightarrow\;5\pi x=n\pi\;\Rightarrow\;x=\dfrac{n}{5}\ \text{m}$

La separación entre dos valores consecutivos es:

$\Delta x=\dfrac{\lambda}{2}=\dfrac{0{,}40}{2}$

$\Delta x=0{,}20\ \text{m}$

Dos nodos consecutivos distan $0{,}20\ \text{m}$, media longitud de onda, como ocurre en cualquier onda estacionaria.

$\textbf{c) La velocidad máxima con la que vibra un punto situado a 0,25 m del origen. [1 punto]}$

En una onda estacionaria cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple cuya amplitud depende de su posición:

$A(x)=0{,}04\,\operatorname{sen}(5\pi x)$

$A(0{,}25)=0{,}04\,\operatorname{sen}\left(1{,}25\pi\right)=0{,}04\cdot(-0{,}707)=-0{,}0283\ \text{m}$

El signo solo indica que ese punto vibra en oposición de fase con los del primer huso; lo que importa es su módulo. La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-A(x)\,\omega\,\operatorname{sen}(\omega t)$

y su valor máximo se alcanza cuando el seno vale la unidad:

$v_{y,\max}=|A(0{,}25)|\,\omega=0{,}0283\cdot40\pi$

$v_{y,\max}=3{,}55\ \text{m/s}$

El punto situado a $0{,}25\ \text{m}$ del origen vibra con una velocidad máxima de $3{,}55\ \text{m/s}$. No es un vientre, pero está cerca de uno: su amplitud, $0{,}0283\ \text{m}$, es el 71 % de la máxima.