Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

En tu instituto vais a presentar a un concurso un «laboratorio de microgravedad casero». La idea es usar masas relativamente grandes colocadas sobre una mesa para crear una zona donde la intensidad del campo gravitatorio resultante sea prácticamente nula, y estudiar cómo se mueve una pequeña esfera de prueba.

En el prototipo se usan dos esferas metálicas, A y B, colocadas sobre una mesa horizontal, separadas una cierta distancia. Tomamos como eje X la recta que une A y B, con origen en A y sentido hacia B. Una pequeña esfera de prueba puede deslizarse sin rozamiento sobre una guía recta que pasa por A y B.

a) Dibuja un esquema en el que representes los campos gravitatorios de ambas esferas en 3 puntos diferentes (M, N y P) del eje X, tales que: M se encuentra a la izquierda de ambas esferas, N se sitúa a la derecha de ambas esferas y P está entre las esferas A y B. [0,6 puntos]

b) ¿En cuál de los puntos anteriores podría ser nulo el campo gravitatorio? Encuentra exactamente su posición respecto de la esfera A. [1 punto]

c) La esfera de prueba se desplaza lentamente y sin rozamiento desde el punto medio entre A y B hasta el punto donde el campo gravitatorio resultante es nulo. Calcula el trabajo realizado por las fuerzas gravitatorias durante el desplazamiento descrito e interpreta el signo obtenido. [0,9 puntos]

Datos: masa de la esfera A: $M_A=15\text{ kg}$; masa de la esfera B: $M_B=10\text{ kg}$; distancia entre A y B: $d=1\text{ m}$; masa de la esfera de prueba: $m=\mathrm{0,2}\text{ kg}$; constante de gravitación universal: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}$ (unidades del Sistema Internacional).

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esquema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{representes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{campos}}\mathbf{\text{gravitatorios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{esferas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{(M,}}\mathbf{\text{N}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{P)}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{X,}}\mathbf{\text{tales}}\mathbf{\text{que:}}\mathbf{\text{M}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{izquierda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{esferas,}}\mathbf{\text{N}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{esferas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{esferas}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$



El campo gravitatorio creado por una masa apunta siempre hacia ella, porque la interacción gravitatoria es solo atractiva:

$\vec{g}=-G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}{\vec{u}}_r$

En el punto $M$, a la izquierda de las dos esferas, tanto ${\vec{g}}_A$ como ${\vec{g}}_B$ apuntan hacia la derecha, porque las dos masas quedan a ese lado.

En el punto $N$, a la derecha de las dos, ocurre lo contrario: los dos campos apuntan hacia la izquierda.

En el punto $P$, situado entre ambas, ${\vec{g}}_A$ apunta hacia la izquierda (hacia $A$) y ${\vec{g}}_B$ hacia la derecha (hacia $B$): son los únicos puntos del eje en los que los dos campos tienen sentidos opuestos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{anteriores}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{nulo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio?}}\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{esfera}}\mathbf{\text{A.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para que la suma de los dos campos sea nula tienen que tener sentidos opuestos, y eso, como se acaba de razonar, solo pasa entre las dos esferas: el punto buscado es del tipo $P$.

Se impone que los dos módulos coincidan en un punto que dista $x$ de $A$ y $d-x$ de $B$:

$G{\displaystyle \frac{M_A}{x^2}}=G{\displaystyle \frac{M_B}{(d-x{)}^2}}$

${\displaystyle \frac{15}{x^2}}={\displaystyle \frac{10}{(1-x{)}^2}}$

Tomando raíces cuadradas, con $0<x<1$, de modo que los dos miembros son positivos:

${\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{x}}={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{1-x}}\Rightarrow \sqrt{15}(1-x)=\sqrt{10}x$

$x={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}+\sqrt{10}}}$

$x=\mathrm{0,551}\text{ m}$

El campo gravitatorio se anula a $\mathrm{0,551}\text{ m}$ de la esfera $A$, algo más allá del punto medio y por tanto más cerca de la esfera pequeña, que es lo esperable. La otra raíz de la ecuación de segundo grado, $x=\mathrm{5,45}\text{ m}$, se descarta por caer fuera del segmento $AB$, donde los dos campos tienen el mismo sentido y no pueden cancelarse.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{esfera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desplaza}}\mathbf{\text{lentamente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{rozamiento}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{resultante}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{nulo.}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{fuerzas}}\mathbf{\text{gravitatorias}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{desplazamiento}}\mathbf{\text{descrito}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{interpreta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{obtenido.}}\mathbf{\text{[0,9}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo que realizan sus fuerzas es igual a la disminución de la energía potencial y no depende del camino seguido:

$W=-\mathrm{\Delta }{E}_p=E_p(\text{inicial})-E_p(\text{final})=m[V(\mathrm{0,5})-V(\mathrm{0,551})]$

El potencial es escalar y se suma directamente el de cada esfera:

$V(x)=-G{\displaystyle \frac{M_A}{x}}-G{\displaystyle \frac{M_B}{d-x}}$

$V(\mathrm{0,5})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}({\displaystyle \frac{15}{\mathrm{0,5}}}+{\displaystyle \frac{10}{\mathrm{0,5}}})=-\mathrm{3,335}\cdot {10}^{-9}\text{ J/kg}$

$V(\mathrm{0,551})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}({\displaystyle \frac{15}{\mathrm{0,551}}}+{\displaystyle \frac{10}{\mathrm{0,449}}})=-\mathrm{3,301}\cdot {10}^{-9}\text{ J/kg}$

$W=\mathrm{0,2}(-\mathrm{3,335}\cdot {10}^{-9}+\mathrm{3,301}\cdot {10}^{-9})$

$W=-\mathrm{6,74}\cdot {10}^{-12}\text{ J}$

El trabajo de las fuerzas gravitatorias es negativo. Quiere decir que el campo se opone al desplazamiento: en el punto medio predomina la atracción de la esfera $A$, que es la más masiva, y llevar la esfera de prueba hacia $B$ obliga a tirar de ella. La energía potencial aumenta en esos mismos $\mathrm{6,74}\cdot {10}^{-12}\text{ J}$, que es la energía que hay que aportar desde fuera.