Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

EJERCICIO 3. Análisis.
El número de vehículos vendidos por un concesionario a lo largo del último año se estima que viene dado por la función
$N(t) = \begin{cases} 28 - (t-4)^2\ , & 0 \le t < 6 \\[4pt] (t-10)^2 + 8\ , & 6 \le t \le 12 \end{cases}$
en donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses.

a) Determine los períodos de crecimiento y decrecimiento del número de vehículos vendidos. ¿Cuál ha sido el mayor número de vehículos vendidos? ¿Y el menor? ¿En qué momentos se han producido? Justifique sus respuestas.
b) Con la información del apartado anterior, represente la gráfica de la función.
c) ¿Hubo algún período del año en el que el número de vehículos vendidos haya sido inferior a 12 unidades? Justifique su respuesta.

$\textbf{a) Determine los períodos de crecimiento y decrecimiento del número de vehículos vendidos. ¿Cuál ha sido el mayor número de vehículos vendidos? ¿Y el menor? ¿En qué momentos se han producido? Justifique sus respuestas.}$

Derivamos cada trozo por separado y estudiamos el signo de la derivada.

$N'(t) = \begin{cases} -2(t-4) & 0 \le t < 6 \\ 2(t-10) & 6 < t \le 12 \end{cases}$

$-2(t-4) = 0 \Rightarrow t = 4; \qquad 2(t-10) = 0 \Rightarrow t = 10$

En el primer trozo la derivada es positiva antes de $t = 4$ y negativa después; en el segundo es negativa antes de $t = 10$ y positiva después. En $t = 6$ solo cambia la expresión de la función: los dos trozos valen ahí 24 vehículos, de modo que la función es continua y sigue decreciendo.



Las ventas crecen durante los cuatro primeros meses y durante los dos últimos, y decrecen entre el cuarto mes y el décimo.

Los extremos absolutos se buscan entre esos puntos y los extremos del intervalo.

$N(0) = 28 - (0-4)^2 = 28 - 16 = 12$

$N(4) = 28 - 0 = 28$

$N(10) = (10-10)^2 + 8 = 8$

$N(12) = (12-10)^2 + 8 = 12$

El mayor número de vehículos vendidos fue 28, alcanzado en el cuarto mes; el menor fue 8, en el décimo mes.

$\textbf{b) Con la información del apartado anterior, represente la gráfica de la función.}$

Los dos trozos son parábolas: la primera abierta hacia abajo con vértice en $(4,28)$ y la segunda abierta hacia arriba con vértice en $(10,8)$, y empalman en $(6,24)$ sin salto.



$\textbf{c) ¿Hubo algún período del año en el que el número de vehículos vendidos haya sido inferior a 12 unidades? Justifique su respuesta.}$

Resolvemos la inecuación $N(t) < 12$ en cada trozo.

En el primero:

$28 - (t-4)^2 < 12 \Rightarrow (t-4)^2 > 16 \Rightarrow |t-4| > 4 \Rightarrow t < 0 \text{ o } t > 8$

Ninguna de las dos soluciones cae dentro de $[0,6)$, así que en el primer trozo nunca se baja de 12 unidades.

En el segundo:

$(t-10)^2 + 8 < 12 \Rightarrow (t-10)^2 < 4 \Rightarrow |t-10| < 2 \Rightarrow 8 < t < 12$

Sí lo hubo: las ventas fueron inferiores a 12 unidades entre el octavo y el duodécimo mes, sin incluir los extremos, tal y como se aprecia en la gráfica por debajo de la horizontal de 12 unidades.