Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2026

Un bloque de masa $m = 0{,}50$ kg está unido al extremo de un muelle horizontal de constante elástica desconocida. El sistema oscila sin rozamiento. En un experimento se observa que el bloque tarda 0,40 s en pasar desde la posición de máxima elongación positiva hasta la máxima elongación negativa. Además, se sabe que la energía mecánica total del sistema es: $E = 1{,}8$ J.

a) Determina el período, la frecuencia y la constante elástica del muelle. [0,75 puntos]

b) Calcula la amplitud de la oscilación. [0,5 puntos]

c) Escribe la ecuación del movimiento del bloque suponiendo que en $t = 0$ se encuentra en la elongación máxima positiva. [0,75 puntos]

d) Determina la velocidad máxima y la aceleración máxima del bloque. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determina el período, la frecuencia y la constante elástica del muelle. [0,75 puntos]}$

Ir de la máxima elongación positiva a la máxima elongación negativa es recorrer medio ciclo, de modo que ese tiempo es medio período:

$\dfrac{T}{2}=0{,}40\ \text{s}\;\Rightarrow\;T=0{,}80\ \text{s}$

$f=\dfrac1T=\dfrac1{0{,}80}=1{,}25\ \text{Hz}$

La frecuencia angular es:

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot1{,}25=7{,}85\ \text{rad/s}$

Y como en un movimiento armónico simple producido por un muelle se cumple $\omega=\sqrt{k/m}$:

$k=m\,\omega^{2}=0{,}50\cdot7{,}85^{2}$

$k=30{,}8\ \text{N/m}$

El período es de $0{,}80\ \text{s}$, la frecuencia de $1{,}25\ \text{Hz}$ y la constante elástica del muelle vale $30{,}8\ \text{N/m}$.

$\textbf{b) Calcula la amplitud de la oscilación. [0,5 puntos]}$

En un oscilador armónico sin rozamiento la energía mecánica se conserva y coincide con la energía potencial elástica en los extremos, donde la velocidad es nula:

$E=\dfrac12\,k\,A^{2}\;\Rightarrow\;A=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}$

$A=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}8}{30{,}8}}$

$A=0{,}34\ \text{m}$

El bloque oscila con una amplitud de $0{,}34\ \text{m}$, es decir, se separa 34 cm de la posición de equilibrio a cada lado.

$\textbf{c) Escribe la ecuación del movimiento del bloque suponiendo que en } \boldsymbol{t = 0}\textbf{ se encuentra en la elongación máxima positiva. [0,75 puntos]}$

La elongación de un movimiento armónico simple responde a:

$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)$

Imponiendo la condición inicial $x(0)=A$:

$A=A\cos\varphi_0\;\Rightarrow\;\cos\varphi_0=1\;\Rightarrow\;\varphi_0=0\ \text{rad}$

Se sustituyen la amplitud y la frecuencia angular ya calculadas:

$x(t)=0{,}34\cos(7{,}85\,t)\ \text{m}$

con $t$ en segundos. Se ha elegido el coseno precisamente porque el bloque parte del extremo; con el seno haría falta una fase inicial de $\pi/2$ y la ecuación sería la misma.

$\textbf{d) Determina la velocidad máxima y la aceleración máxima del bloque. [0,5 puntos]}$

Derivando la elongación se obtienen la velocidad y la aceleración, cuyos valores máximos son:

$v_{\max}=\omega\,A=7{,}85\cdot0{,}34$

$v_{\max}=2{,}68\ \text{m/s}$

$a_{\max}=\omega^{2}A=7{,}85^{2}\cdot0{,}34$

$a_{\max}=21{,}1\ \text{m/s}^{2}$

El bloque alcanza una velocidad máxima de $2{,}68\ \text{m/s}$ al pasar por la posición de equilibrio, y una aceleración máxima de $21{,}1\ \text{m/s}^{2}$ en los extremos, que es justo donde la velocidad se anula.