Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

EJERCICIO 3. Análisis.
La función $f(x) = ax^2 + bx + c$, en donde a, b, c son números reales, pasa por el origen de coordenadas y tiene un máximo en el punto P (4, 16).

a) Calcule los valores de a, b, c.
b) Realice la representación gráfica de la función $f(x)$ y determine el área comprendida entre dicha función y el eje OX.

$\textbf{a) Calcule los valores de a, b, c.}$

Cada condición del enunciado se traduce en una ecuación. Que la gráfica pase por el origen significa $f(0) = 0$; que tenga un máximo en $P(4,16)$ obliga a que pase por ese punto y a que la derivada se anule allí.

$f(0) = c = 0$

$f'(x) = 2ax + b \Rightarrow f'(4) = 8a + b = 0 \Rightarrow b = -8a$

$f(4) = 16a + 4b + c = 16 \Rightarrow 16a + 4(-8a) = 16 \Rightarrow -16a = 16 \Rightarrow a = -1$

$b = -8(-1) = 8$

Los valores buscados son $a = -1$, $b = 8$ y $c = 0$, de modo que $f(x) = -x^2 + 8x$. Como $a < 0$ la parábola se abre hacia abajo y el extremo es efectivamente un máximo.

$\textbf{b) Realice la representación gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y determine el área comprendida entre dicha función y el eje OX.}$

Los cortes con el eje de abscisas son los ceros de la función:

$-x^2 + 8x = 0 \Rightarrow x(8 - x) = 0 \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = 8 \end{cases}$

Con esos dos cortes y el vértice $(4,16)$ ya se puede trazar la parábola.



Entre $x = 0$ y $x = 8$ la función es positiva, así que el área coincide con la integral definida.

$\text{Área} = \int_0^8 (-x^2 + 8x)\,dx = \left[-\dfrac{x^3}{3} + 4x^2\right]_0^8$

$= \left(-\dfrac{512}{3} + 256\right) - 0 = \dfrac{-512 + 768}{3} = \dfrac{256}{3}$

El área comprendida entre la parábola y el eje OX es de $\frac{256}{3} \approx 85{,}33$ unidades de área.