Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Calcule de forma razonada:

a) El área encerrada por la función $f(x) = x^2 - 2x$ y el eje $OX$ entre $x = -1$ y $x = 4$. [1,5 puntos]

b) Las asíntotas de la función: [1,5 puntos]

$g(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2 - 2x}$

$\textbf{a) El área encerrada por la función } \boldsymbol{f(x) = x^2 - 2x}\textbf{ y el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ entre } \boldsymbol{x = -1}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 4}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Antes de integrar hay que localizar los cortes con el eje dentro del intervalo, porque el área es la suma de los valores absolutos de las integrales en cada tramo de signo constante.

$x^2-2x=0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,\ x=2$

Los dos están en $[-1,4]$, así que el intervalo se parte en tres tramos.

$f(-1)=3>0 \qquad f(1)=-1<0 \qquad f(3)=3>0$

Una primitiva de la función es $\dfrac{x^3}{3}-x^2$, y con ella se aplica la regla de Barrow en cada tramo.

$\int_{-1}^{0}\left(x^2-2x\right)dx=0-\left(-\dfrac{1}{3}-1\right)=\dfrac{4}{3}$

$\int_{0}^{2}\left(x^2-2x\right)dx=\dfrac{8}{3}-4=-\dfrac{4}{3}$

$\int_{2}^{4}\left(x^2-2x\right)dx=\left(\dfrac{64}{3}-16\right)-\left(\dfrac{8}{3}-4\right)=\dfrac{20}{3}$

$\text{Área}=\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{20}{3}=\dfrac{28}{3}\approx 9{,}33$

El área encerrada por la función y el eje $OX$ entre $x=-1$ y $x=4$ es de $\dfrac{28}{3}$ unidades de superficie.



$\textbf{b) Las asíntotas de la función } \boldsymbol{g(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2 - 2x}}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Antes de nada se factorizan numerador y denominador, porque un factor común cambiaría la respuesta.

$g(x)=\dfrac{2(x-2)}{x(x-2)}=\dfrac{2}{x} \qquad (x\neq 0,\ x\neq 2)$

Asíntotas verticales: los valores que anulan el denominador son $x=0$ y $x=2$, pero hay que estudiar el límite en cada uno, porque el factor $x-2$ se simplifica.

$\lim_{x\to 2}g(x)=\lim_{x\to 2}\dfrac{2}{x}=1$

En $x=2$ el límite es finito: no hay asíntota, sino un punto en el que la función no está definida.

$\lim_{x\to 0^-}\dfrac{2}{x}=-\infty \qquad \lim_{x\to 0^+}\dfrac{2}{x}=+\infty$

La recta $x=0$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales: el grado del denominador es mayor que el del numerador, luego el límite en el infinito es cero.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2}{x}=0$

La recta $y=0$ es asíntota horizontal, y al haberla no puede haber asíntota oblicua.

La función tiene una única asíntota vertical, $x=0$, y una asíntota horizontal, $y=0$.