Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

Los ingresos $I(t)$ y gastos $G(t)$ (en miles de euros) de un establecimiento desde el primer al sexto mes que lleva abierto dependen del tiempo, $t$ en meses, según las funciones:

$I(t) = 3t^3 + 10Bt, \quad G(t) = 2t^3 + 3At^2 + Bt \qquad 1 \le t \le 6$

Se pide, justificando la respuesta:

a) Calcule la función $F(t)$ que relaciona los beneficios con el tiempo. [0,5 puntos]

b) Determine, razonando la respuesta, las constantes $A$ y $B$ sabiendo que el beneficio máximo fue de 112 mil euros y se alcanzó a los 4 meses desde la apertura. [1,5 puntos]

c) Para los valores de $A$ y $B$ calculados en el apartado anterior, determine el momento donde se produce el beneficio mínimo y a cuánto asciende este. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la función } \boldsymbol{F(t)}\textbf{ que relaciona los beneficios con el tiempo. [0,5 puntos]}$

El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los gastos.

$F(t)=I(t)-G(t)=\left(3t^3+10Bt\right)-\left(2t^3+3At^2+Bt\right)$

$F(t)=t^3-3At^2+9Bt \qquad 1\leq t\leq 6$

$\textbf{b) Determine, razonando la respuesta, las constantes } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ sabiendo que el beneficio máximo fue de 112 mil euros y se alcanzó a los 4 meses desde la apertura. [1,5 puntos]}$

Que en $t=4$ haya un extremo obliga a que la derivada se anule allí, y que el beneficio valga 112 da la segunda ecuación. Con las dos se forma un sistema.

$F'(t)=3t^2-6At+9B$

$F'(4)=0 \Rightarrow 48-24A+9B=0 \Rightarrow 8A-3B=16$

$F(4)=112 \Rightarrow 64-48A+36B=112 \Rightarrow 4A-3B=-4$

Restando la segunda ecuación de la primera desaparece $B$.

$4A=20 \Rightarrow A=5 \Rightarrow 3B=4\cdot 5+4=24 \Rightarrow B=8$

Se comprueba que en $t=4$ hay realmente un máximo con la segunda derivada.

$F''(t)=6t-6A=6t-30 \Rightarrow F''(4)=-6<0$

Las constantes son $A=5$ y $B=8$, y la función de beneficios queda $F(t)=t^3-15t^2+72t$.

$\textbf{c) Para los valores de } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ calculados en el apartado anterior, determine el momento donde se produce el beneficio mínimo y a cuánto asciende este. [1 punto]}$

Como el tiempo recorre un intervalo cerrado, el mínimo absoluto hay que buscarlo entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$F'(t)=3t^2-30t+72=3(t-4)(t-6) \Rightarrow t_1=4,\quad t_2=6$



El beneficio crece en $[1,4)$ y decrece en $(4,6]$, de modo que el mínimo solo puede estar en uno de los dos extremos del intervalo.

$F(1)=1-15+72=58 \qquad F(6)=216-540+432=108$

$58<108$

El beneficio mínimo se produce en el primer mes, $t=1$, y asciende a 58 mil euros.