Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un pastor elabora quesos de oveja y de cabra. Los gastos de producción de cada queso de oveja ascienden a 10 € con unos beneficios de 5 €. Por otra parte, fabricar cada queso de cabra le cuesta 15 € y le reporta unos beneficios de 11 €. Se sabe que diariamente dispone de 300 € para la fabricación de estos quesos y que, para atender a las exigencias del mercado, debe fabricar, al menos, un total de 25 unidades entre los dos tipos de queso. Además, por normativa sanitaria, el número de quesos de oveja más el doble de los de cabra no puede superar las 30 unidades. Calcule, razonando la respuesta, el número de quesos de cada tipo que deben fabricarse diariamente para obtener unos beneficios máximos, así como el valor de dichos beneficios máximos. [3 puntos]

Llamamos $x$ al número de quesos de oveja e $y$ al número de quesos de cabra que se fabrican cada día.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Unidades}$	$\text{Coste (euros)}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Oveja	$x$	$10x$	$5x$ Cabra	$y$	$15y$	$11y$ Totales	$x+y$	$10x+15y$	$5x+11y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio diario:

$B(x,y)=5x+11y$

Las restricciones del problema son:

Se dispone de 300 euros para la fabricación $\Rightarrow 10x+15y\leq 300$.

Hay que fabricar al menos 25 quesos en total $\Rightarrow x+y\geq 25$.

Los de oveja más el doble de los de cabra no superan las 30 unidades $\Rightarrow x+2y\leq 30$.

El número de quesos no puede ser negativo $\Rightarrow x\geq 0$, $y\geq 0$.

$\begin{cases} 10x+15y\leq 300\\ x+y\geq 25\\ x+2y\leq 30\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x+y=25\\y=0\end{cases} \Rightarrow A(25,0)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}x+2y=30\\y=0\end{cases} \Rightarrow B(30,0)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x+y=25\\x+2y=30\end{cases} \Rightarrow y=5 \Rightarrow C(20,5)$

La restricción del gasto se cumple en los tres vértices —en $B$ con igualdad, $10\cdot 30=300$— y no llega a recortar la región.

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(25,0)=5\cdot 25+11\cdot 0=125\ \text{euros}$

$B(30,0)=5\cdot 30+11\cdot 0=150\ \text{euros}$

$B(20,5)=5\cdot 20+11\cdot 5=155\ \text{euros}$

El mayor de los tres valores se alcanza en el vértice $C(20,5)$.

El pastor debe fabricar cada día 20 quesos de oveja y 5 de cabra, con los que obtiene un beneficio máximo de 155 euros.