Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Una piscifactoría realiza un estudio de mercado para determinados tipos de pescado (salmones y truchas). Se asume que el precio por kg de estos pescados tiene distribución normal con desviación típica 3 euros. ¿Cuántas pescaderías habrá que visitar como mínimo si se quiere estimar el precio medio mediante un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 99 %, cuya longitud no sea superior a 4 euros? Razone la respuesta. [2 puntos]

Se estima la media de una población normal de desviación típica conocida, así que el intervalo de confianza es

$IC=\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\,,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Su longitud es el doble del error máximo admisible, de modo que exigir que no pase de 4 euros equivale a exigir que el error no pase de 2 euros.

$\text{Longitud}=2\,z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq 4 \Rightarrow E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq 2$

Con un nivel de confianza del 99 % se tiene $1-\alpha=0{,}99$, luego $\alpha=0{,}01$ y en la tabla de la normal $z_{\alpha/2}=2{,}576$.

$2{,}576\cdot\dfrac{3}{\sqrt{n}}\leq 2 \Rightarrow \sqrt{n}\geq\dfrac{2{,}576\cdot 3}{2}=3{,}864$

$n\geq 3{,}864^2=14{,}930\ldots$

El tamaño de la muestra tiene que ser un número entero, y al aumentar $n$ disminuye el error, así que se toma el primer entero que cumple la desigualdad.



Hay que visitar como mínimo 15 pescaderías: con 14 el intervalo sería más largo de 4 euros y con 15 su longitud es de $2\cdot 2{,}576\cdot\dfrac{3}{\sqrt{15}}\approx 3{,}99$ euros.