Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Consideramos la parábola $p(x) = Ax^2 + Bx - 30$. Se pide:

a) Determine los valores de $A$ y $B$ para que el valor de la parábola en $x = 1$ sea $-32$ y su derivada en $x = 2$ sea igual a 4. [1,5 puntos]

b) Para $A = 1$ y $B = -1$, halle el área encerrada por $p(x)$ y el eje $OX$ entre $x = 5$ y $x = 7$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Determine los valores de } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ para que el valor de la parábola en } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ sea } \boldsymbol{-32}\textbf{ y su derivada en } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ sea igual a 4. [1,5 puntos]}$

Cada condición del enunciado se traduce en una ecuación lineal en $A$ y $B$; con las dos se forma un sistema.

$p(1)=A+B-30=-32 \Rightarrow A+B=-2$

$p'(x)=2Ax+B \Rightarrow p'(2)=4A+B=4$

$\begin{cases}A+B=-2\\4A+B=4\end{cases}$

Restando la primera ecuación de la segunda desaparece $B$.

$3A=6 \Rightarrow A=2 \Rightarrow B=-2-2=-4$

Los valores buscados son $A=2$ y $B=-4$, con los que la parábola es $p(x)=2x^2-4x-30$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{A = 1}\textbf{ y } \boldsymbol{B = -1}\textbf{, halle el área encerrada por } \boldsymbol{p(x)}\textbf{ y el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ entre } \boldsymbol{x = 5}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 7}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Con esos valores la parábola es

$p(x)=x^2-x-30=(x-6)(x+5)$

Antes de integrar hay que localizar los cortes con el eje dentro del intervalo, porque el área es la suma de los valores absolutos de las integrales en cada tramo de signo constante. La única raíz en $[5,7]$ es $x=6$.

$p(5)=-10<0 \qquad p(7)=12>0$

$\int_{5}^{6}\left(x^2-x-30\right)dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-30x\right]_{5}^{6}=-126-\left(-\dfrac{725}{6}\right)=-\dfrac{31}{6}$

$\int_{6}^{7}\left(x^2-x-30\right)dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-30x\right]_{6}^{7}=-\dfrac{721}{6}-(-126)=\dfrac{35}{6}$

$\text{Área}=\left|-\dfrac{31}{6}\right|+\left|\dfrac{35}{6}\right|=\dfrac{66}{6}=11$

El área encerrada por la parábola y el eje $OX$ entre $x=5$ y $x=7$ es de 11 unidades de superficie.