Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

La temperatura de una bodega oscila entre los 6 y los 14 grados y la cantidad de vino que se estropea, $C(x)$ en litros, depende de su temperatura de conservación, $x$ en grados, de acuerdo con la siguiente función:

$C(x) = 1000 - 231x + 27x^2 - x^3 \qquad 6 \le x \le 14$

Determine, razonando las respuestas:

a) El crecimiento y decrecimiento de la cantidad de vino que se estropea dependiendo de la temperatura de conservación. [1,5 puntos]

b) Las temperaturas de la bodega que hacen que se estropee la cantidad máxima y mínima de vino y los valores de estas cantidades. [1 punto]

c) La diferencia, en cuanto a cantidad de vino estropeada, entre mantener la bodega a 8 y a 10 grados. [0,5 puntos]

$\textbf{a) El crecimiento y decrecimiento de la cantidad de vino que se estropea dependiendo de la temperatura de conservación. [1,5 puntos]}$

El crecimiento de una función derivable lo da el signo de su derivada, así que se deriva $C(x)$ y se buscan sus puntos críticos dentro del rango de temperaturas de la bodega.

$C'(x)=-231+54x-3x^2=-3\left(x^2-18x+77\right)$

$C'(x)=0 \Rightarrow x=\dfrac{18\pm\sqrt{324-308}}{2}=\dfrac{18\pm 4}{2} \Rightarrow x_1=7,\quad x_2=11$

Los dos valores pertenecen al intervalo $[6,14]$. Se estudia el signo de $C'(x)=-3(x-7)(x-11)$ en cada tramo.

$C'(6)=-3(-1)(-5)=-15<0 \qquad C'(9)=-3(2)(-2)=12>0 \qquad C'(12)=-3(5)(1)=-15<0$



La cantidad de vino estropeado decrece en $[6,7)\cup(11,14]$ y crece en $(7,11)$.

$\textbf{b) Las temperaturas de la bodega que hacen que se estropee la cantidad máxima y mínima de vino y los valores de estas cantidades. [1 punto]}$

Como la temperatura recorre un intervalo cerrado, los extremos absolutos hay que buscarlos entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$C(6)=1000-1386+972-216=370$

$C(7)=1000-1617+1323-343=363$

$C(11)=1000-2541+3267-1331=395$

$C(14)=1000-3234+5292-2744=314$

Por el estudio del signo, en $x=7$ hay un mínimo relativo y en $x=11$ un máximo relativo. Comparando los cuatro valores, el mayor es 395 y el menor 314.

La cantidad máxima de vino estropeado, 395 litros, se produce a 11 grados; la mínima, 314 litros, a 14 grados.

$\textbf{c) La diferencia, en cuanto a cantidad de vino estropeada, entre mantener la bodega a 8 y a 10 grados. [0,5 puntos]}$

Se evalúa la función en las dos temperaturas y se restan los resultados.

$C(8)=1000-1848+1728-512=368$

$C(10)=1000-2310+2700-1000=390$

$C(10)-C(8)=390-368=22$

A 10 grados se estropean 22 litros de vino más que a 8 grados, lo que era de esperar porque entre esas dos temperaturas la función es creciente.