Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una granja produce dos tipos de cultivos: maíz y trigo, generando un beneficio de 50 euros por hectárea de maíz y 40 euros por hectárea de trigo. La granja dispone de 120 hectáreas para cultivar y de 300 depósitos de agua. Cada hectárea de maíz requiere 3 depósitos de agua y cada hectárea de trigo requiere 2. Además, la granja debe dedicar al menos 20 hectáreas al maíz y 15 hectáreas al trigo. Determine el número de hectáreas que se deben dedicar a cada cultivo para obtener los beneficios máximos y calcule dichos beneficios. [3 puntos]

Llamamos $x$ al número de hectáreas dedicadas al maíz e $y$ al número de hectáreas dedicadas al trigo.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Hectáreas}$	$\text{Depósitos de agua}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Maíz	$x$	$3x$	$50x$ Trigo	$y$	$2y$	$40y$ Totales	$x+y$	$3x+2y$	$50x+40y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=50x+40y$

Las restricciones del problema son:

La granja dispone de 120 hectáreas $\Rightarrow x+y\leq 120$.

Dispone de 300 depósitos de agua $\Rightarrow 3x+2y\leq 300$.

Debe dedicar al menos 20 hectáreas al maíz y 15 al trigo $\Rightarrow x\geq 20$, $y\geq 15$.

$\begin{cases} x+y\leq 120\\ 3x+2y\leq 300\\ x\geq 20;\ y\geq 15 \end{cases}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$: corte de $x=20$ con $y=15$, es decir $A(20,15)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases}3x+2y=300\\y=15\end{cases} \Rightarrow 3x=270 \Rightarrow B(90,15)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x+y=120\\3x+2y=300\end{cases} \Rightarrow y=120-x \Rightarrow 3x+240-2x=300 \Rightarrow C(60,60)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}x=20\\x+y=120\end{cases} \Rightarrow D(20,100)$

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(20,15)=50\cdot 20+40\cdot 15=1600\ \text{euros}$

$B(90,15)=50\cdot 90+40\cdot 15=5100\ \text{euros}$

$B(60,60)=50\cdot 60+40\cdot 60=5400\ \text{euros}$

$B(20,100)=50\cdot 20+40\cdot 100=5000\ \text{euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $C(60,60)$.

La granja debe dedicar 60 hectáreas al maíz y 60 hectáreas al trigo, con lo que obtiene un beneficio máximo de 5400 euros.