Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 5x & 4 \\ -x & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & y \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} z & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ la matriz identidad de orden 2

a) Calcule, justificando la respuesta, los valores de $x$, $y$, $z$ para que se verifique la igualdad $I + A^t = B \cdot C$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$. [2 puntos]

b) Tomando $x = 1$, determine los valores de $y$ para los que $A \cdot B$ tiene inversa. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule, justificando la respuesta, los valores de } \boldsymbol{x}\textbf{, } \boldsymbol{y}\textbf{, } \boldsymbol{z}\textbf{ para que se verifique la igualdad } \boldsymbol{I + A^t = B \cdot C}\textbf{, siendo } \boldsymbol{A^t}\textbf{ la matriz traspuesta de } \boldsymbol{A}\textbf{. [2 puntos]}$

Dos matrices son iguales cuando lo son elemento a elemento, así que se calculan los dos miembros y se igualan las cuatro posiciones.

$A^t=\begin{pmatrix}5x&-x\\4&0\end{pmatrix} \Rightarrow I+A^t=\begin{pmatrix}1+5x&-x\\4&1\end{pmatrix}$

$B\cdot C= \begin{pmatrix}3&y\\-1&4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}z&-1\\2&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3z+2y&-3\\-z+8&1\end{pmatrix}$

$\begin{cases} 1+5x=3z+2y\\ -x=-3\\ 4=-z+8\\ 1=1 \end{cases}$

La segunda y la tercera ecuación dan directamente dos de las incógnitas.

$x=3 \qquad z=4$

Se sustituyen en la primera ecuación:

$1+5\cdot 3=3\cdot 4+2y \Rightarrow 16=12+2y \Rightarrow y=2$

Los valores buscados son $x=3$, $y=2$ y $z=4$.

$\textbf{b) Tomando } \boldsymbol{x = 1}\textbf{, determine los valores de } \boldsymbol{y}\textbf{ para los que } \boldsymbol{A \cdot B}\textbf{ tiene inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que se calcula el producto y después su determinante.

$A=\begin{pmatrix}5&4\\-1&0\end{pmatrix} \Rightarrow A\cdot B= \begin{pmatrix}5&4\\-1&0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3&y\\-1&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11&5y+16\\-3&-y\end{pmatrix}$

$|A\cdot B|= \begin{vmatrix}11&5y+16\\-3&-y\end{vmatrix} =-11y+3(5y+16)=4y+48$

$4y+48\neq 0 \Rightarrow y\neq -12$

La matriz $A\cdot B$ tiene inversa para cualquier valor de $y$ distinto de $-12$.