Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

El servicio de atención al cliente de una compañía telefónica decide realizar un estudio sobre el tipo de reclamaciones que recibe. De las 200 reclamaciones recibidas telefónicamente cierto día, se resolvieron favorablemente para el cliente 64. Se pide, justificando las respuestas:

a) Halle un intervalo de confianza al nivel de confianza del 95 % para la proporción de reclamaciones telefónicas favorables al cliente. [1,5 puntos]

b) En base a dicho intervalo, ¿podemos decir que el porcentaje de reclamaciones favorables al cliente supera el 20 %? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Halle un intervalo de confianza al nivel de confianza del 95 \% para la proporción de reclamaciones telefónicas favorables al cliente. [1,5 puntos]}$

Se estima una proporción, de modo que el estadístico es $\hat{p}$ y, para una muestra grande, se distribuye según $\hat{p}\sim N\left(p\,;\,\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$. El intervalo de confianza es

$IC=\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\,,\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

La proporción muestral y el valor crítico son:

$\hat{p}=\dfrac{64}{200}=0{,}32 \qquad 1-\alpha=0{,}95 \Rightarrow \alpha=0{,}05 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$

$\sqrt{\dfrac{0{,}32\cdot 0{,}68}{200}}=\sqrt{0{,}001088}\approx 0{,}0330$

$E=1{,}96\cdot 0{,}0330\approx 0{,}0647$

$IC=(0{,}32-0{,}0647\,,\ 0{,}32+0{,}0647)=(0{,}2553\,,\ 0{,}3847)$

Con una confianza del 95 %, la proporción de reclamaciones telefónicas favorables al cliente está entre $0{,}2553$ y $0{,}3847$, es decir, entre el 25,53 % y el 38,47 %.



$\textbf{b) En base a dicho intervalo, ¿podemos decir que el porcentaje de reclamaciones favorables al cliente supera el 20 \%? [0,5 puntos]}$

El intervalo recoge los valores admisibles de la proporción real al nivel de confianza fijado, así que basta comprobar dónde queda el 20 %.

$0{,}20<0{,}2553$

El valor 0,20 está por debajo del extremo inferior del intervalo, luego queda fuera de él.

Sí se puede afirmar, con una confianza del 95 %, que el porcentaje de reclamaciones favorables al cliente supera el 20 %.