Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

En una empresa de mensajería, el coste de envío de un paquete, $C(x)$ en euros, depende de su peso, $x$ en kilogramos, y se determina de la siguiente manera:

$C(x) = \begin{cases} x^2 + Ax - B & \text{si } 0 \le x < 5 \\ 5Ax + 4B & \text{si } 5 \le x \le 10 \end{cases}$

a) Calcule los valores de $A$ y $B$ para que $C(x)$ sea una función continua y el coste de un paquete de 5 kilogramos sea de 38 euros. [1,5 puntos]

b) Para $A = -8$ y $B = -15$, determine el área encerrada por la función $C(x)$ y el eje $OX$ entre $x = 2$ y $x = 4$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule los valores de } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ para que } \boldsymbol{C(x)}\textbf{ sea una función continua y el coste de un paquete de 5 kilogramos sea de 38 euros. [1,5 puntos]}$

Cada trozo es una función polinómica, continua en su intervalo, así que el único punto que hay que vigilar es $x=5$, donde cambia la expresión. Allí los dos límites laterales y el valor de la función deben coincidir.

$C(5)=5A\cdot 5+4B=25A+4B=38$

$\lim_{x\to 5^-}C(x)=5^2+5A-B=25+5A-B$

$25+5A-B=38 \Rightarrow 5A-B=13 \Rightarrow B=5A-13$

Se sustituye en la primera condición:

$25A+4(5A-13)=38 \Rightarrow 45A=90 \Rightarrow A=2$

$B=5\cdot 2-13=-3$

Con $A=2$ y $B=-3$ la función es continua en todo su dominio y el envío de un paquete de 5 kg cuesta 38 euros.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{A = -8}\textbf{ y } \boldsymbol{B = -15}\textbf{, determine el área encerrada por la función } \boldsymbol{C(x)}\textbf{ y el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ entre } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 4}\textbf{. [1,5 puntos]}$

El intervalo $[2,4]$ está dentro del primer trozo, luego la función que interviene es la parábola

$C(x)=x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$

Antes de integrar hay que localizar los cortes con el eje dentro del intervalo, porque el área es la suma de los valores absolutos de las integrales en cada tramo de signo constante. La única raíz en $[2,4]$ es $x=3$.

$C(2)=3>0 \qquad C(4)=-1<0$

$\int_{2}^{3}\left(x^2-8x+15\right)dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-4x^2+15x\right]_{2}^{3}=18-\dfrac{50}{3}=\dfrac{4}{3}$

$\int_{3}^{4}\left(x^2-8x+15\right)dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-4x^2+15x\right]_{3}^{4}=\dfrac{52}{3}-18=-\dfrac{2}{3}$

$\text{Área}=\left|\dfrac{4}{3}\right|+\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{6}{3}=2$

El área encerrada por la función y el eje $OX$ entre $x=2$ y $x=4$ es de 2 unidades de superficie.