Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En una heladería solo venden tres tipos de helados: de nata, de fresa y de chocolate y no se pueden mezclar los sabores. Cierto día, tres amigos se tomaron, cada uno, un solo helado, pero de diferente sabor. Entregaron un billete de 10 € y les devolvieron dos monedas de 1 € y una de 2 €. Además, uno de ellos se dio cuenta de que 4 helados de nata y 2 de fresa costaban lo mismo que 4 de chocolate y que cada helado de fresa valía 50 céntimos menos que uno de chocolate. Calcule el precio de cada tipo de helado. [3 puntos]

Llamamos $x$ al precio en euros del helado de nata, $y$ al del de fresa y $z$ al del de chocolate.

Los tres amigos entregan un billete de 10 euros y reciben de vuelta $2\cdot 1+2=4$ euros, luego los tres helados, uno de cada sabor, han costado en total

$x+y+z=10-4=6$

Cuatro helados de nata y dos de fresa cuestan lo mismo que cuatro de chocolate:

$4x+2y=4z$

Cada helado de fresa vale 50 céntimos menos que uno de chocolate:

$y=z-0{,}5$

Reunimos las tres condiciones en un sistema:

$\begin{cases} x+y+z=6\\ 4x+2y=4z\\ y=z-0{,}5 \end{cases}$

Se resuelve por sustitución. La segunda ecuación se simplifica dividiendo entre 2 y en ella se sustituye $y$ por su valor en función de $z$.

$2x+y=2z \Rightarrow 2x+z-0{,}5=2z \Rightarrow 2x=z+0{,}5 \Rightarrow x=\dfrac{z+0{,}5}{2}$

Llevando ahora $x$ e $y$ a la primera ecuación queda una sola incógnita.

$\dfrac{z+0{,}5}{2}+(z-0{,}5)+z=6 \Rightarrow z+0{,}5+2z-1+2z=12$

$5z=12{,}5 \Rightarrow z=2{,}5$

$y=2{,}5-0{,}5=2 \qquad x=\dfrac{2{,}5+0{,}5}{2}=1{,}5$

Se comprueban las tres condiciones: $1{,}5+2+2{,}5=6$, $4\cdot 1{,}5+2\cdot 2=10=4\cdot 2{,}5$ y $2=2{,}5-0{,}5$.

El helado de nata cuesta 1,50 euros, el de fresa 2 euros y el de chocolate 2,50 euros.