Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

a) Calcule las matrices $X$ e $Y$ que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matriciales: [2 puntos]

$\begin{cases} 2X - 3Y = \begin{pmatrix} 9 & -1 & -11 \\ 4 & -6 & -16 \end{pmatrix} \\[2ex] 5X + 2Y = \begin{pmatrix} 32 & 26 & 20 \\ 29 & 23 & 17 \end{pmatrix} \end{cases}$

b) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & m \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & m-1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$, determine para qué valores de $m$ no existe la inversa de $A + B$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule las matrices } \boldsymbol{X}\textbf{ e } \boldsymbol{Y}\textbf{ que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matriciales: [2 puntos]}$

Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos matrices incógnita, y se resuelve por reducción igual que si fueran números. Se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 para que los coeficientes de $Y$ sean opuestos.

$\begin{cases} 4X-6Y=\begin{pmatrix}18&-2&-22\\8&-12&-32\end{pmatrix}\\[2ex] 15X+6Y=\begin{pmatrix}96&78&60\\87&69&51\end{pmatrix} \end{cases}$

Sumando las dos ecuaciones desaparece $Y$.

$19X=\begin{pmatrix}114&76&38\\95&57&19\end{pmatrix} \Rightarrow X=\dfrac{1}{19}\begin{pmatrix}114&76&38\\95&57&19\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6&4&2\\5&3&1\end{pmatrix}$

Se lleva $X$ a la primera ecuación de partida y se despeja $Y$.

$3Y=2X-\begin{pmatrix}9&-1&-11\\4&-6&-16\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12&8&4\\10&6&2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}9&-1&-11\\4&-6&-16\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&9&15\\6&12&18\end{pmatrix}$

$Y=\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}$

Se comprueba en la segunda ecuación: $5X+2Y=\begin{pmatrix}30&20&10\\25&15&5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&6&10\\4&8&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}32&26&20\\29&23&17\end{pmatrix}$.

Las matrices buscadas son $X=\begin{pmatrix}6&4&2\\5&3&1\end{pmatrix}$ e $Y=\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}$.

$\textbf{b) Determine para qué valores de } \boldsymbol{m}\textbf{ no existe la inversa de } \boldsymbol{A + B}\textbf{. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada no tiene inversa exactamente cuando su determinante es nulo, así que se calcula primero la suma y luego su determinante.

$A+B= \begin{pmatrix}1&1&0\\-1&1&2\\-1&2&m\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&1&-1\\2&m-1&0\\3&2&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2&-1\\1&m&2\\2&4&m\end{pmatrix}$

Se desarrolla por la primera fila.

$|A+B|=1\cdot(m^2-8)-2\cdot(m-4)+(-1)\cdot(4-2m)$

$|A+B|=m^2-8-2m+8-4+2m=m^2-4$

$m^2-4=0 \Rightarrow m=\pm 2$

La matriz $A+B$ no tiene inversa para $m=2$ y para $m=-2$; para cualquier otro valor de $m$ sí la tiene.