Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

En el último año pernoctaron en la ciudad 1500 turistas en hoteles, 2500 en apartamentos y 1000 en autocaravanas. Se decide hacer un estudio sobre el gasto medio de estos turistas, realizando una encuesta entre 400 de ellos.

a) Si atendemos a criterios de proporcionalidad, determine a cuántos turistas habrá que seleccionar en cada grupo (hoteles, apartamentos, autocaravanas). [1 punto]

b) Los turistas de autocaravana tuvieron un gasto medio diario de 40 euros. Considerando la variable gasto con distribución normal y desviación típica 15 euros, calcule un intervalo de confianza al 90 % para el gasto medio de este tipo de turistas. [1 punto]

$\textbf{a) Si atendemos a criterios de proporcionalidad, determine a cuántos turistas habrá que seleccionar en cada grupo (hoteles, apartamentos, autocaravanas). [1 punto]}$

Se trata de un muestreo estratificado con afijación proporcional: cada estrato aporta a la muestra la misma fracción que representa en la población.

$N=1500+2500+1000=5000\ \text{turistas}$

$f=\dfrac{n}{N}=\dfrac{400}{5000}=0{,}08$

$n_{\text{hoteles}}=0{,}08\cdot 1500=120$

$n_{\text{apartamentos}}=0{,}08\cdot 2500=200$

$n_{\text{autocaravanas}}=0{,}08\cdot 1000=80$

Los tres tamaños suman los 400 de la muestra: hay que encuestar a 120 turistas de hotel, 200 de apartamento y 80 de autocaravana.

$\textbf{b) Los turistas de autocaravana tuvieron un gasto medio diario de 40 euros. Considerando la variable gasto con distribución normal y desviación típica 15 euros, calcule un intervalo de confianza al 90 \% para el gasto medio de este tipo de turistas. [1 punto]}$

La población es normal y se conoce su desviación típica, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\,,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

El tamaño de la muestra es el del estrato de autocaravanas obtenido en el apartado anterior, $n=80$. Con $1-\alpha=0{,}90$ se tiene $\alpha=0{,}1$ y $z_{\alpha/2}=1{,}645$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}645\cdot\dfrac{15}{\sqrt{80}}=1{,}645\cdot 1{,}6771\approx 2{,}76\ \text{euros}$

$IC=(40-2{,}76\,,\ 40+2{,}76)=(37{,}24\,,\ 42{,}76)$

Con una confianza del 90 %, el gasto medio diario de los turistas de autocaravana está entre $37{,}24$ y $42{,}76$ euros.