Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Calcule:

a) El valor de $m$ (con $m > 0$) para que el área encerrada por la función $f(x) = 2x + 1$ y el eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = m$ valga 20 unidades de superficie. [1,5 puntos]

b) Las asíntotas de la función: [1,5 puntos]

$g(x) = \dfrac{-2x^2 + 6x - 4}{2(x-1)^2}$

$\textbf{a) El valor de } \boldsymbol{m}\textbf{ (con } \boldsymbol{m > 0}\textbf{) para que el área encerrada por la función } \boldsymbol{f(x) = 2x + 1}\textbf{ y el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ entre } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ y } \boldsymbol{x = m}\textbf{ valga 20 unidades de superficie. [1,5 puntos]}$

La recta $f(x)=2x+1$ es positiva en todo el intervalo $[0,m]$ con $m>0$, así que el área coincide con la integral definida y basta imponer que valga 20.

$\int_{0}^{m}(2x+1)\,dx=\left[x^2+x\right]_{0}^{m}=m^2+m$

$m^2+m=20 \Rightarrow m^2+m-20=0 \Rightarrow m=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+80}}{2}=\dfrac{-1\pm 9}{2}$

$\begin{cases}m=4\\m=-5\end{cases}$

Se descarta la solución negativa porque el enunciado exige $m>0$.

El valor pedido es $m=4$: el trapecio que la recta forma con el eje entre $x=0$ y $x=4$ tiene 20 unidades de superficie.



$\textbf{b) Las asíntotas de la función } \boldsymbol{g(x) = \dfrac{-2x^2 + 6x - 4}{2(x-1)^2}}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Antes de nada se factorizan numerador y denominador, porque un factor común cambiaría la respuesta.

$-2x^2+6x-4=-2\left(x^2-3x+2\right)=-2(x-1)(x-2)$

$g(x)=\dfrac{-2(x-1)(x-2)}{2(x-1)^2}=\dfrac{-(x-2)}{x-1}=\dfrac{2-x}{x-1} \qquad (x\neq 1)$

Asíntotas verticales: el único valor que anula el denominador es $x=1$, y al simplificar sigue anulándolo, luego hay que estudiar el límite.

$\lim_{x\to 1^-}\dfrac{2-x}{x-1}=\dfrac{1}{0^-}=-\infty \qquad \lim_{x\to 1^+}\dfrac{2-x}{x-1}=\dfrac{1}{0^+}=+\infty$

La recta $x=1$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales: numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-2x^2+6x-4}{2x^2-4x+2}=\dfrac{-2}{2}=-1$

La recta $y=-1$ es asíntota horizontal, y al haberla no puede haber asíntota oblicua.

La función tiene una asíntota vertical, $x=1$, y una asíntota horizontal, $y=-1$.