Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2026

Después de este invierno tan lluvioso, la Confederación Hidrográfica del Guadiana ha decidido que un determinado pantano desembalse agua cada día desde las 9 hasta las 17 horas. La velocidad a la que el agua sale por sus compuertas, en $\text{m}^3$ por segundo, depende de la hora del día según la expresión:

$C(t) = -2000 + 576t - 42t^2 + t^3 \qquad 9 \le t \le 17$

Calcule:

a) Los intervalos de tiempo en los que la velocidad de desembalse crece y en los que decrece. [1,5 puntos]

b) ¿A qué horas se producen las velocidades de desembalse máxima y mínima?, ¿a cuánto ascienden estas velocidades? [1 punto]

c) Se desea ampliar una hora el período de desembalse diario. Si se quiere desembalsar una mayor cantidad de agua por las compuertas, ¿interesará comenzar a las 8 (una hora antes) o continuar desembalsando hasta las 18 horas (una hora después)? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Los intervalos de tiempo en los que la velocidad de desembalse crece y en los que decrece. [1,5 puntos]}$

El crecimiento de una función derivable lo da el signo de su derivada, así que se deriva $C(t)$ y se buscan sus puntos críticos dentro del horario de desembalse.

$C'(t)=576-84t+3t^2=3\left(t^2-28t+192\right)$

$C'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac{28\pm\sqrt{784-768}}{2}=\dfrac{28\pm 4}{2} \Rightarrow t_1=12,\quad t_2=16$

Los dos valores pertenecen al intervalo $[9,17]$. Se estudia el signo de $C'(t)$ en cada tramo.

$C'(10)=3(100-280+192)=36>0 \qquad C'(14)=3(196-392+192)=-12<0 \qquad C'(17)=3(289-476+192)=15>0$



La velocidad de desembalse crece en $[9,12)\cup(16,17]$ y decrece en $(12,16)$.

$\textbf{b) ¿A qué horas se producen las velocidades de desembalse máxima y mínima?, ¿a cuánto ascienden estas velocidades? [1 punto]}$

Como el horario es un intervalo cerrado, los extremos absolutos hay que buscarlos entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$C(9)=-2000+5184-3402+729=511$

$C(12)=-2000+6912-6048+1728=592$

$C(16)=-2000+9216-10752+4096=560$

$C(17)=-2000+9792-12138+4913=567$

En $t=12$ la función pasa de crecer a decrecer y en $t=16$ de decrecer a crecer, de modo que hay un máximo relativo y un mínimo relativo, respectivamente. Comparando los cuatro valores, el mayor es 592 y el menor 511.

La velocidad máxima se alcanza a las 12 horas y es de $592\ \text{m}^3/\text{s}$; la mínima, a las 9 horas, al abrir las compuertas, y es de $511\ \text{m}^3/\text{s}$.

$\textbf{c) Se desea ampliar una hora el período de desembalse diario. Si se quiere desembalsar una mayor cantidad de agua por las compuertas, ¿interesará comenzar a las 8 (una hora antes) o continuar desembalsando hasta las 18 horas (una hora después)? [0,5 puntos]}$

La cantidad de agua que sale en una hora es el área bajo la curva de la velocidad en esa hora, es decir, la integral definida de $C(t)$. Se calcula una primitiva y se aplica la regla de Barrow en los dos tramos.

$\int C(t)\,dt=-2000t+288t^2-14t^3+\dfrac{t^4}{4}$

$\int_{8}^{9} C(t)\,dt=-3237{,}75-(-3712)=474{,}25$

$\int_{17}^{18} C(t)\,dt=1908-1330{,}25=577{,}75$

Como $C(t)$ viene dada en metros cúbicos por segundo y una hora son 3600 segundos, esas cifras equivalen a $1\,707\,300\ \text{m}^3$ por la mañana y a $2\,079\,900\ \text{m}^3$ por la tarde.

Interesa continuar desembalsando hasta las 18 horas: por esa hora sale más agua que por la de las 8, en la que la velocidad es todavía baja.